Question

La solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas por determinantes se obtiene por medio de la regla de Kramer. El valor de cada incógnita es una fracción cuyo denominador es el determinante del sistema que se forma con los coeficientes de las incógnitas; y cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el determinante del sistema los coeficientes de dicha incógnita por los términos independientes de las ecuaciones. Sea el sistema de ecuaciones: 3x + 2y + z = 7 x + 3y – z = 12 2x + y + 3z = - 1 La solución del sistema de ecuaciones es:

Answer 1

Se plantea el sistema de ecuaciones:

a)      3x + 2y + z = 7

b)     x + 3y – z = 12

c)      2x + y + 3z = - 1

Ahora se calcula el determinante:

Δ = $\left[\begin{array}{ccc}3&2&1\\1&3&-1\\12&1&3\end{array}\right]$

      

Δ = (3x3x3) + (2x-1x12) + (1x1x1) – [(1x3x12) + (3x1x-1) + (2x1x3)] = 27 - 24 + 1 - 36 + 3 – 6 = -35

Δ = - 35

Para calcular la variable X se sustituyen los valores independientes en la columna de las equis, se resuelve ese determinante y luego se divide entre el delta (∆)

$X = \left[\begin{array}{ccc}7&2&1\\12&3&-1\\-1&1&3\end{array}\right]$/-35

     

X = (7x3x3) + (2x-1x-1) + (1x1x12) – [(1x3x-1) + (7x1x-1) + (2x12x3)] = 42+2+12+3+7-72 = 66 – 72 / (-35) = -6 / -35 = 6/35 

 X = 6/35

Para calcular la variable Y se sustituyen los valores independientes en la columna de las yes, se resuelve ese determinante y luego se divide entre el delta (∆)

Y = $Y = \left[\begin{array}{ccc}3&7&1\\1&12&-1\\12&-1&3\end{array}\right] / -35$

      

Y = (3x12x3) + (7x-1x12) + (1x-1x1) – [(1x12x12) + (3x1x-7) + (-1x-1x3)] =

                    

Y = 108-84-1-144-21-3 / -35 = 108 – 253/-35 = -145 / -35 = 145/35 = 29/7 

 Y = 29/7

Para calcular la variable Z se sustituyen los valores independientes en la columna de las zetas, se resuelve ese determinante y luego se divide entre el delta (∆)

$Z = \left[\begin{array}{ccc}3&2&7\\1&3&12\\12&1&-1\end{array}\right] /-35$

Z  = (3x3x-1) + (2x-12x12) + (7x1x1) – [(7x3x12) + (2x1x-1) + (3x1x12)] 

        

                

Z = -9 + 7 + 288 -252 +2 -36/-35 = 297 – 297/-35 = 0/-35 = 0 

Z = 0