Question

la siguiente expresión cumple para dos valores de "n", determine la suma de dichos valores ​

Answer 1

Respuesta:  

$\sqrt[n+1]{\frac{\left(i^n\right)^n}{\left(i\right)^{4n+1}}}=i$

$n_{1}= \frac{5\ +\sqrt{33}}{2} ; n_{2}=\frac{5\ - \sqrt{33}}{2}$

$n_{1} + n_{2} = 5$

Explicación paso a paso:

Primero que nada tendremos que aplicar algunas de las propiedades de la potencia.

  1.- Primero se aplicará: $(a^n)^m = a^{n*m}$

$\sqrt[n+1]{\frac{\left(i\right)^{n^2}}{\left(i\right)^{4n+1}}}=i$

  2.- Luego se tendrá que aplicar la siguiente propiedad:$\left(\frac{a^n}{a^m}\right)=a^{n-m}\:\:$

$\sqrt[n+1]{i^{n^2-\left(4n-1\right)}}=i$

  3.- Se procederá transformar la raíz a una potencia: $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{n}{m}}$

$i^{\frac{n^2-4n-1}{n+1}}=i$

  4.- Ahora bien Si  $a^{n}=a^{m}$ entonces n=m

$\frac{n^2-4n-1}{n+1}=1$

  5.- Y se procederá a resolver como una ecuación cuadrática

$\frac{n^2-4n-1}{n+1}=1\\{n^2-4n-1}= n+1\\{n^2-4n-1} -n-1=0\\n^2-5n-2=0$

$n=\frac{-\left(-5\right)\sqrt[]{\left(5^2-4\left(1\right)\left(-2\right)\right)}}{2}$

$n_{1}= \frac{5\ +\sqrt{33}}{2} ; n_{2}=\frac{5\ - \sqrt{33}}{2}$

  6.- Por ultimo el ejercicio nos pide hallar la suma de los valores de n

$n_1+n_2= \frac{5\ +\sqrt{33}}{2} + \frac{5\ - \sqrt{33}}{2} \\ n_1+n_2= \frac{5+\sqrt{33}+5-\sqrt{33}}{2}\\n_1+n_2=\frac{5+5}{2} \\n_1+n_2=\frac{10}{2}\\n_1+n_2=5$

Answer 2

La suma de las soluciones es igual a 5

Usaremos propiedades de la potencia para determinar para que valores se cumple la proposición

(iⁿ)ⁿ = iⁿ²

(iⁿ)ⁿ/i⁴ⁿ⁺¹ = iⁿ² ⁻⁽⁴ⁿ⁺¹⁾ = iⁿ²⁻⁴ⁿ⁻¹

Ahora si aplicamos raíz nesima entonces el exponente de la expresión de i serpa

(n² - 4n - 1)/(n + 1)

Como queremos que sea i entonces igualamos a 1:

(n² - 4n - 1)/(n + 1) = 1

(n² - 4n - 1) = n + 1

n² - 4n - 1 - n - 1 = 0

n² - 5n - 2 = 0

Las raíces son:

(-b + √Δ)/2a y (-b - √Δ)/2a

La suma de las soluciones es:

(-b + √Δ)/2a + (-b - √Δ)/2a

= - 2b/2a

= -2(-5)/(2(1)) = 10/2 = 5

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