la respiracion es ciclica y un ciclo respiratorio completo, desde el principio de inhalacion hasta el final de la exhalacion requiere de aproximadamente 5 segundos, el gasto maximo de aire que entre en los pulmones es de mas o menos 0.5 lit/seg, por ello es usada la funcion, f(t)=(1/2)sen(2πt/5), para modelar el gasto de aire hacia los pulmones, use esta expresion para hallar el volumen de aire inhalado en el tiempo t.
Respuestas a la pregunta
La expresión para hallar el volumen de aire inhalado en el tiempo t es:
V = ( - 5/4π)cos( 2πt/5 ) + 5/4π
La expresión del volumen de aire inhalado en función del tiempo t se calcula mediante integración, de la siguiente manera :
Gasto máximo de aire = -+0.5 Lts /seg
Función : f(t) =(1/2) sen(2πt/5) para modelar el gasto de aire hacia los pulmones
Volumen de aire inhalado en el tiempo t =?
G = dV / dt
dV = Gdt
El gasto G = f(t) = (1/2)sen(2πt/5) entonces :
dV = (1/2)sen(2πt/5) dt
Al Integrar ambos miembro se obtiene :
V = 1/2 ∫sen(2πt/5) dt
Se resuelve la integral por cambio de variable:
u = 2πt/5, du = 2π/5 dt, de donde dt = du / 2π/5 = 5du / 2π
Sustituyendo en la integral:
V = 1/2 ∫sen( u ) 5 du / 2π = 5 / 4π ∫sen( u ) du = ( -5/4π)cos( u ) + C
u= 2πt/5 por lo tanto se tiene:
V = 1/2∫sen( 2πt/5 ) dt = ( -5/4π)cos( 2πt/5 ) + C
Para : t = 0 y el volumen de aire V=0 :
0 = ( - 5/4π)cos(0) + C
C = 5π/4
La ecuación del volumen de aire es:
V = ( - 5/4π)cos( 2πt/5 ) + 5/4π