Question

La región limitada por la gráfica y=x^3, el eje x y x=1/2 , se gira alrededor del eje x. Hallar el área de la superficie lateral del sólido resultante.

Answer 1

El área se determina mediante la siguiente expresión:

A =  2 π int [y √[1 + (y')²] dx, entre a y b]; para este caso es:

y' = 3 x^2; (y')² = 9 x^4

A = 2 π int [x^3 √[1 + 9 x^4] dx, entre 0 y 1/2] 

Resolvemos con una sustitución: u = 1 + 9 x^4; du = 36 x^3 dx;

de modo que x^3 dx = du/36; reemplazamos:

I = 2 π / 36 int [√u du] = 2 π / 36 . 2/3 u^(3/2) = π /27 u^(3/2

Volvemos a x, para x = 0 hasta x = 1/2

A = π/27 [1 + 9 (1/2)^4]^(3/2) = 0,111 unidades de superficie.

Saludos Herminio