Question

la region limitada por la grafica de y=x^3 , el eje x y x =1\2 se gira alrededor del eje x. hallar el area de la superficie lateral del solido resultante

Answer 1

Bueno, la fórmula del área de la superficie de una función al hacer girar está dado,

 $S=\displaystyle2\pi\int_{a}^{b}{r(x)\sqrt{1+f'(x)^{2}}}dx$

donde r(x) es la altura de la función...entonces,

$S=\displaystyle2\pi\int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{3}\sqrt{1+(3x^{2})^{2}}}dx=2\pi\int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{3}\sqrt{1+9x^{4}}}dx$

consideramos una sustitucion,

$u=1+9x^{4}\longrightarrow du=36x^{3}dx\rightarrow dx=\displaystyle\frac{du}{36x^{3}}$

entonces la ntegral nos queda,

$S=\displaystyle2\pi\int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{3}\sqrt{u}}\frac{du}{36x^{3}}=\frac{\pi}{18}\int_{0}^{\frac{1}{2}}{\sqrt{u}}du=\frac{\pi}{18}\left(\frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3}\right|_{0}^{\frac{1}{2}}\\\\\\...=\frac{\pi}{18}\left(\frac{2(1+9x^{4})^{\frac{3}{2}}}{3}\right|_{0}^{\frac{1}{2}}=\frac{\pi}{18}\left[\frac{2(1+9(0.5)^{4})^{\frac{3}{2}}}{3}-\frac{2(1+9(0^{4})^{\frac{3}{2}}}{3}\right]\\\\\...=$

bueno, no tengo nua calcu a la mano....entonces...mete eso a una calculadora y ya te da el resultado¡..