la region interior de un cuadrado es siempre un conjunto convexo ? justifica tu respuesta !
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Corolario 1.1.1SiA⊂Rnconvexo, entoncesAes convexo.Demostraci ́on.A={x∈Rn|d(x,A) = 0}=∩r>0{x∈Rn|d(x,A)< r}=∩r>0U(A,r).Ahora s ́olo hay que aplicar la convexidad deU(A,r) y el apartado (1) de la Proposi-ci ́on 1.1.1.2Definici ́on 1.1.2Diremos quex∈Rnescombinaci ́on lineal convexa dex1,...,xk∈Rnsi existenλ1,...,λk∈Rno negativos con∑ki=1λi= 1 yx=∑ki=1λixi.Algunos comentarios sencillos:(k= 1): El conjunto de combinaciones lineales convexas de cualquierx∈Rnsereduce a{x}.(k= 2):x∈Rnes combinaci ́on lineal convexa dex1,x2∈Rnsi y s ́olo six∈[x1,x2].(k= 3): Six1,x2,x3∈Rnson af ́ınmente independientes, entoncesx∈Rnes combi-naci ́on lineal convexa dex1,x2,x3si y s ́olo sixest ́a en el tri ́angulo cerrado deRncon v ́erticesx1,x2,x3.(k= 4): Six1,x2,x3,x4∈Rnson af ́ınmente independientes, entoncesx∈Rnescombinaci ́on lineal convexa dex1,x2,x3,x4si y s ́olo sixest ́a en el tetraedro s ́olidocerrado deRncon v ́erticesx1,x2,x3,x4.Definici ́on 1.1.3SeaA⊂Rnno vac ́ıo. Laenvolvente convexadeA, conv(A), es elconjunto de puntos deRnque pueden escribirse como combinaci ́on lineal convexa de unacantidad finita de puntos deA.
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lo resumire en una palabra "SI"
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