Question

La recta y= -x+11 es tangente a una circunferencia en el punto P (4,7) la recta x=3-√2 es tangente a la misma circunferencia en el punto Q (3-√2, 6)
Determine el centro y la ecuacion de la circunferencia en sus dos formas

Answer 1

Ya que tenemos las dos rectas tangentes y sus puntos de tangencia, hallamos para cada una unas rectas ortogonales que pasen por sus respectivos puntos de tangencia

1) Recta $y=-x+11$ 
pendiente: $m=-1$
Pendiente de la recta ortogonal: $m'=1$
Ecuación de la recta ortogonal: $L_1: y=1(x-4)+7 \iff \boxed{y=x+3}$

2) recta $x=3-\sqrt{2}$, es obvio que es una recta vertical, por ello su ortogonal es una recta horizontal que pasará por Q, es decir
                                    $L_2:\boxed{y=6}$

3) El punto de corte entre $L_1$ y $L_2$ es el centro de la susodicha circunferencia.
                                  $x+3=6\iff x=3$
Centro: $C=(3,6)$

4) Radio: PC
              $PC=\|(3,6)-(4,7)\|=\|(-1,-1)\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}\\ \\ \boxed{PC=\sqrt{2}}$

5) ecuación de la circunferencia:
                       $\boxed{(x-3)^2+(y-6)^2=2}$