Question

La recta y 4x + 5 intersecta a la parábola y = x² en los puntos A y B. Sea P un punto del arco AOB de la parábola, con 0 = (0,0). Halle las coordenadas del punto P de manera que el triángulo APB tenga área máxima.​

Answer 1

El punto P que hace máxima el área del triángulo APB es P(2,4).

¿Cómo hallar el punto donde el triángulo APB es de área máxima?

Si A y B son los puntos donde la recta interseca a la parábola, y P es un punto del arco de parábola AB, el área del triángulo APB es igual a:

$A=\frac{AB.h}{2}$

Donde h es la altura del triángulo, que es la distancia entre el punto P y el segmento AB en dirección perpendicular a AB. Esta altura es también igual a la distancia entre el punto P y la recta. La ecuación implícita de la recta es 4x-y+5=0.

Si P pertenece a la parábola, sus coordenadas son $(x,x^2)$, entonces, podemos aplicar la expresión para la distancia de un punto a una recta:

$h=\frac{|4x-x^2+5|}{\sqrt{4^2+(-1)^2}}=\frac{|4x-x^2+5|}{\sqrt{17}}$

Tenemos que maximizar esta expresión, como nos importa que el módulo sea máximo, podemos para esto extraer las barras de módulo, derivando e igualando a 0 queda:

$4-2x=0\\\\x=2$

Entonces, el punto P para el cual el área de APB es máxima es P(2,4).

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