Question

La razón de cambio del volumen V de una bola de nieve que se derrite es proporcional a la superficie S de la bola. Si el radio de la bola en t = 0 es r = 2 , y en t = 10 es r = 1/2 , demuestre que r = -3/20 t + 2

Answer 1

La razón de cambio del volumen V de la bola de nieve que se derrite es igual a:

dV/dt = -kS

El volumen de la bola es:

V= (4/3)πr³

Su superficie es:

S= 4πr²

Derivando el volumen:

dV/dt= 4πr²(dr/dt)

Reemplazando:

4πr²(dr/dt)= -k( 4πr²)

dr/dt=-k

dr= -kdt

Integrando:

r= -kt + C

Dónde C es la constante de integración.

Para t=0, se tiene que r=2

Reemplazando:

2=-k(0) + C

C= 2

Para t=10, se tiene que r=1/2

Reemplazando:

1/2=-k(10) + 2

1/2-2=-10k

-3/2=-10k

k=3/20

Reemplazando se tiene la expresión para determinar r en función del tiempo:

r= -(3/20)t + 2