Question

la razón armónica de los enteros positivos a y b es 1/9 y la razón aritmética entre ellos es 12. hallar el valor de a+b

Answer 1

La suma entre los números A y B cuya razón aritmética es 12 es 24.

¿Como relacionar la razón aritmética y la razón armónica?

La razón aritmética entre dos números es simplemente la diferencia entre ellos, entonces, si esta razón aritmética es 12, eso significa que es B-A=12, siendo A y B los dos números enteros positivos.

Por otro lado, la razón armónica entre dos números es igual a la diferencia entre los inversos multiplicativos de esos dos números. La razón armónica se puede desarrollar para que aparezca la razón aritmética:

$\frac{1}{A}-\frac{1}{B}=\frac{1}{9}\\\\\frac{B-A}{AB}=\frac{1}{9}$

Puedo plantear el producto entre esos dos números:

$AB=9(B-A)=9.12=108\\\\AB=A(12+A)=108\\\\12A+A^2-108=0$

Con estos valores podemos resolver la ecuación cuadrática:

$A=\frac{-12\ñ\sqrt{(12)^2-4.1.(-108)}}{2.1}\\A=\frac{-12\ñ24}{2}\\\\A=6\\A=-18$

Como es A=6, podemos deducir a través de la razón aritmética que el otro es B=18, entonces, la suma entre ellos es A+B=24.

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