Question

la provincia de San Antonio de putina en la región puno es el segundo productor nacional de fibra de alpaca hace 10 años un grupo de alpaqueros de ese lugar decidió ahorrar cada año el doble de lo que ahorro el año anterior con el fín de invertirlo en su futuro producción si en el décimo registraron un ahorro de $/ 65 536 000.¿Cuánto ahorraron en total durante los 10 años?
Preguntas:
1¿ En qué año el ahorro fue menor?
2¿En qué año fue mayor?

Answer 1

Respuesta:

¿Cuánto ahorraron en total durante los 10 años?

$/130'944,000

1. ¿En qué año el ahorro fue menor?

En el año 1, con un ahorro de $/128.000

2. ¿En qué año fue mayor?

En el año 10, con un ahorro de $/65'536,000

Explicación paso a paso:

Tema: Progresiones Geométricas

Sabemos que los ahorros van desde el año 1 ( Primer término ) hasta el año 10 ( Décimo término ), cada año se ahorra el doble de lo que se ahorro el año anterior, es decir es la razón constante de la progresión.

- Si el primer año ahorraron "x" dólares , entonces el segundo año ahorraron "2x" dólares ya que es el doble del anterior año.

- Si el segundo año ahorraron "2x" dólares, entonces el tercer año ahorraron "4x" dólares ya que es el doble del anterior año.

Y asi sucesivamente hasta el término 10, que ya conocemos su valor.

Por lo tanto la progresión quedaría expresada como:

                                    x ; 2x ; 4x ; .... ; 65 536 000

                                    t1   t2   t3                 t10

Sabemos que la razón constante es 2, r = 2

Entonces aplicamos la siguiente fórmula para conocer el término 1:

                                            $tn=t1.r^{n-1}$

Donde:

$tn=$ Término de una cierta posición.

$t1=$ Primer término.

$r=$ Razón, en este caso 2.

$n=$ Posición de un número, en este caso n=10 , ya que si conocemos su valor y nos ayudará a calcular el término 1.

Los datos son los siguientes:

$n=10\\r=2\\t10=65 536 000$

Reemplazamos en la fórmula:

                                              $t10=t1.2^{10-1} \\65536000=t1.2^9\\65536000=t1.512\\t1=\frac{65536000}{512} \\t1=128000$

Hemos calculado el término uno, que representa a la variable "x" , entonces podemos hallar la progresión:

                        128000 ;  256000 ;  512000 ; ..... 65536000

¿Cuánto ahorraron en total?

Debemos aplicar la Fórmula de la suma de términos de una Progresión Geométrica:

                                            $S=\frac{tn.r-t1}{r-1}$

Donde:

$tn=$ Último término.

$r=$ Razón.

$t1=$ Primer término.

Tenemos los datos:

$t10=65536000\\t1=128000\\r=2$

Reemplazamos en la fórmula:

                                        $S=\frac{t10.2-t1}{r-1} \\S=\frac{65536000(2)-128000}{2-1} \\S=131072000-128000\\S=130944000$

Por lo tanto el ahorro total durante los 10 años fue de $/130'944,000

1. ¿ En qué año el ahorro fue menor?

En el año 1, con un ahorro de $/128.000

2. ¿ En qué año fue mayor?

En el año 10, con un ahorro de $/65'536,000