Question

La profundidad de una lata cilíndrica excede el diámetro en 5 cm. Para elaborar dicha lata, se requiere 276π^2 cm^2 de aluminio. Hallese el diámetro.
Ayudaaaa, es para hoy:(

Answer 1

La respuesta a tu pregunta sobre álgebra y superficie de cilindros es:

$d=22.4338$

Explicación paso a paso:

Hola!

Para determinar la superficie de un cilindro empezaremos por los extremos del cilindro, Sabemos que el cilindro es un círculo con una determinada profundidad, para obtener el área del circulo se utiliza:

$A_c=\frac{\pi *d^2}{4}$                 Ec.1

Y para saber conocer la superficie del cuerpo del cilindro utilizamos:

$S_c=2\pi *r*h$

para dejarlo en términos de diametro, sabemos que el radio es la mitad del diámetro, por lo tanto:

$S_c=\pi *d*h$            Ec.2

Para saber la superficie total utilizamos:

$S_t=S_c+2A_c$

$S_t=\pi *d*h+2[\frac{\pi *d^2}{4}]\\S_t=\pi *d*h+[\frac{\pi *d^2}{2}]$             Ec. 3

Para eliminar las fracciones multiplicaré ambos lados de la ecuación por 2:

$2*S_t=2\pi *d*h+\pi *d^2$

sustituyendo la superficie total:

$2*276\pi^2=2\pi *d*h+\pi *d^2\\552\pi^2=\pi[2*d*h+ d^2]\\552\pi=2d*h+ d^2$         Ec.4

Por el problema sabemos que la profundidad es 5cm mayor que el diametro, visto de otra forma, si el diámetro fuera 5 unidades mayor, este sería igual que la altura:

d+5=h                                       Ec.5

Ahora, sustituyendo la ec. 5 en la ec.4

$552\pi=2d*(d+5)+ d^2\\552\pi=2d^2+10d+ d^2\\3d^2+10d-552\pi =0$

Ahora, solo resta aplicar la formula general:

$\frac{-10+-\sqrt{(10^2)-4(3)(-552\pi )}}{2(3)} \\\\\frac{-10+-\sqrt{(100)+6624\pi }}{6} \\\\\frac{-10+-144.6026}{6} \\d_1=22.4338\\d_2=-25.7671$

Sin embargo, sabemos que el diámetro no puede ser negativo, por lo tanto la respuesta es:

$d_1=22.4338$