Question

La producción de arroz de este año a nivel nacional
es a56a17b kg pero coincidentemente los 8 departamentos productores han tenido la misma producción. Calcule a +b, si la producción total es la menor posible.
C) 13
A) 9
D) 6
B) 10
E) 7​

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Divisibilidad

$\textbf{Problema :}$

La producción de arroz de este año a nivel nacional es $\overline{a56a17b}\ \textrm{kg}$ pero coincidentemente los $8$ departamentos productores han tenido la misma producción. Calcule $a+b$ si la producción total es la menor posible.

RESOLUCIÓN

Asumiremos que cada departamento productor produce una cantidad entera de arroz, es decir, pueden producir $101\ \textrm{kg}$, $415\ \textrm{kg}$, $24\ \textrm{kg}$ o sea cantidades enteras, pero no pueden producir $295.33\ \textrm{kg}$, $91.52\ \textrm{kg}$ porque estos no son números enteros.

Según el problema, cada departamento produjo la misma cantidad de arroz, a la cantidad de arroz producido por cada departamento la llamaremos $n$, y al ser $8$ los departamentos, entonces en total se produjeron $8n\ \textrm{kg}$ de arroz.

Como la producción total es de $\overline{a56a17b}\ \textrm{kg}$ entonces $8n = \overline{a56a17b}$ y como $n$ es un número entero, en consecuencia $\overline{a56a17b}$ es un múltiplo de $8$. Lo cual lo representaremos con la siguiente notación.

$\overline{a56a17b} = \dot{8}$

Si $\overline{a56a17b}$ es múltiplo de $8$ entonces $\overline{17b}$ es múltiplo de $8$. Lo cual lo probaremos ahora mismo.

$\overline{a56a17b} = \overline{a56a} \times 10^{3} + \overline{17b} = \overline{a56a} \times 125 \times 8 + \overline{17b} = \dot{8} + \overline{17b}$

En la prueba se puede observar que el numeral puede escribirse como un múltiplo de $8$ aumentando en $\overline{17b}$ por ende si el numeral es múltiplo de $8$ en consecuencia $\overline{17b}$ es múltiplo de $8$.

$\overline{17b} = \dot{8}\ \to\ 170 + b = \dot{8}\ \to\ 168 + 2 + b = \dot{8}\ \to\ \dot{8}+2+b = \dot{8}$

$b + 2 = \dot{8}\ \to\ b+2+6 = \dot{8} +6\ \to\ b = \dot{8} +6$

Ahora sabemos que $b$ es un múltiplo de $8$ aumentado en $6$, con esto solo existe un posible valor para $b$ y es $b = 6$ tenga en cuenta que $b$ es una cifra, por tanto solo puede variar desde cero hasta nueve $0 \leq b \leq 9$.

Con esto el numeral es $\overline{a56a176}$ múltiplo de $8$ sin importar que valores asumamos para $a$, pero como piden el menor numeral posible, esto ocurre cuando $a = 1$. porque la primera cifra es $a$ y mientras más grande es la primera cifra mayor será el numeral.

Note que $a = 0$ no es posible, porque de ser así la primera cifra del numeral sería $0$ lo cual carece de sentido.

En conclusión la menor producción posible es $1561176$ con $a = 1$ y $b = 6$ entonces $a+b = 7$.

RESPUESTA

$\boxed{a+b = 7}$

Answer 2

Obtenemos que a = 1 y b = 6, por lo tanto, tenemos que a + b = 7

¿Qué son los múltiplos?

Un número “a” es múltiplo de un número “b” si tenemos que podemos escribir a “a” como a = b*k, donde k es un entero

¿Qué son los divisores?

Un número “b” es divisor de un número “a” si al realizar la división de a/b obtenemos que e resultado es un número entero.

Si “a” es múltiplo de “b” entonces “b” es divisor de “a”

¿Cómo calcular los valores de la producción este año?

Debemos encontrar los menores valores que deben tomar a y b tal qu e el total de kg sea divisible entre 8

Cálculo de valores de a y b

Para que sea divisible entre 8 entonces 17b debe ser divisible entre 8 que son las ultimas tres cifras, entonce ocurre solo para el número 176, por lo tanto, tenemos que el valor de b = 6

Luego como a puede ser cualquier número entre 1 y 9 (no puede ser cero pues no puede ir un cero a comienzo) entonces tenemos que a = 1, por lo tanto:

a + b = 6 + 1 = 7. Opción b

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