Question

La población de una especie de animales está modelada mediante la siguiente función f(x)=20+3x²

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X²+6x+9

Dónde x se mide en años y f(x) corresponde la población de miles de animales. ¿Se puede afirmar que la especie tiende a desaparecer después de muchos años?

Answer 1

La población tiende a estabilizarse en los tres mil animales

Para poder determinar esto, simplemente debemos tomar el límite de la función cuando tiende a infinito, pero primero debemos recordar un límite que nos va a ayudar mucho

$\lim_{x \to \infty} \frac{a}{x^n} = 0  ;n> 0$

Donde a es una constante cualquiera, además, podemos reescribir a la función f de la siguiente manera

$f(x) = \frac{ 3x^2+ 20 }{x^2 + 6x + 9} = \frac{ \frac{ 3x^2+ 20}{x^2} }{\frac{ x^2 + 6x + 9}{x^2}} = \frac{3 + \frac{20}{x^2} }{1 + \frac{6}{x} + \frac{9}{x^2} }$

Esta representación, aunque menos elegante, es más práctica para trabajar. Si tomamos el límite cuando x tiende a infinito, vemos que todos los términos que tengan 1/x o 1/x² tienden a cero (por el límite descrito), dejándonos con la expresión 3/1 = 3. Esto implica que después de muchos años la población de animales es de 3 mil especímenes