Question

La placa de un carro está compuesta por 3 números y tres letras ¿cuál es la probabilidad de que las 3 letras sean iguales y que los tres números sean distintos? Teniendo en cuenta que se usarían 27 letras.

Answer 1

PROBABILIDADES.  Ejercicio de aplicación.

Partiremos de lo que se supone que ya conocemos en cuanto a la probabilidad de que ocurra un suceso concreto dentro de un experimento.

En este caso el experimento es la matrícula de un coche y dentro de las probabilidades tenemos

• CASOS POSIBLES, que son todos los sucesos que pueden darse en el experimento.

• CASOS FAVORABLES que son los sucesos que cumplen una o varias condiciones dadas.

En nuestro ejercicio, los casos posibles son todas las matrículas que se pueden conseguir con 3 números y 3 letras.

Los casos favorables son las matrículas cuyas 3 letras sean iguales y los tres números distintos.

Resolvamos por partes.

Calculo los casos posibles para las letras que se obtienen usando la combinatoria y el modelo combinatorio a emplear es:

VARIACIONES CON REPETICIÓN DE 27 ELEMENTOS (m) TOMADOS DE 3 EN 3.

Elijo con repetición porque las letras podrán repetirse y formar por ejemplo tríos como este:  AAB, CDD, FFF... etc, ok?

En este modelo combinatorio, la fórmula que nos da el resultado es muy simple ya que se trata de una potencia donde la base son los elementos a combinar (27) y el exponente es el número de elementos que tomamos en cada combinación (3)

$CR_m^n=m^n\\ \\ CR_{27}^3=27^3=19683$

Podemos formar un total de 19.683 grupos de 3 letras que son los casos posibles  (también llamado "espacio muestral")

Ahora se miran los casos favorables y serán justamente 27 ya que solo se contarán los grupos de 3 letras donde las tres sean iguales, así que hay tantos grupos como letras:  AAA, BBB, CCC, DDD... etc... ok?

Calculo ahora la probabilidad PARCIAL tomando estos datos y la fórmula es el cociente entre casos favorables y casos posibles.

P = Favorables / Posibles = 27 / 19683 = 1 / 729

Reservo este resultado y voy con los números.

Calculo todos los tríos de números que pueden formarse con las cifras del 0 al 9 sin que se repitan y serán:

VARIACIONES DE 10 ELEMENTOS TOMADOS DE 3 EN 3

porque en este modelo (variaciones) se tiene en cuenta el orden en que se colocan las cifras para distinguir entre una y otra variación.

Es decir, no es lo mismo, por ejemplo, el número 123 que el número 321 y sin embargo son las mismas cifras. Por esa razón se usan variaciones y no combinaciones.

La fórmula por factoriales nos dice:

$V_{m} ^n = \dfrac{m!}{(m-n)!} \\ \\ \\ V_{10} ^3 = \dfrac{10!}{(10-3)!}=\dfrac{10*9*8*7!}{7!} =10*9*8=720$

Se pueden formar un total de 720 números de 3 cifras donde no hay cifras repetidas en ninguno de ellos.

Ahora calculo las variaciones con repetición para incluir los números que se repiten y ya hemos visto más arriba que solo hay que usar la potencia:

VR(m,n) = mⁿ = 10³ = 1.000 números incluyendo los que se repiten que constituyen los casos posibles  (también llamado "espacio muestral").

Para saber la cantidad de números donde ninguna cifra está repetida solo hay que restar ambas cantidades:

1000 - 720 = 280 números cuyas cifras son distintas que constituyen los casos favorables.

Acudo de nuevo a la fórmula de la probabilidad que también será parcial porque solo tiene en cuenta los números:

P = Favorables / Posibles = 280 / 1000 = 7 / 25

Finalmente queda calcular la probabilidad total que será la solución al ejercicio y se obtiene con el PRODUCTO de las probabilidades parciales puesto que han de darse los dos casos a la vez, es decir, las letras de la matrícula deben ser iguales y los números deben ser distintos:

$\dfrac{1}{729} \times \dfrac{7}{25} =\dfrac{7}{18225} =0,000039$

(aproximando por exceso en la última cifra decimal)

El porcentaje de probabilidad es donde mejor se aprecia y solo hace falta multiplicar por 100 el resultado quedando:

Probabilidad pedida = 0,0039%

Saludos.