Question

La parte superior de un depósito cilíndrico de gasolina en una estación de servicio está a 4 pies por debajo del nivel del suelo. El eje del depósito es horizontal, su diámetro y longitud son de 5 y 12 pies, respectivamente. ¿Cuál será el trabajo realizado al bombear todo el contenido del depósito a una altura de 3 pies por encima del nivel del suelo?

Answer 1

Para elevar la gasolina hasta 3 metros arriba del suelo se necesita un trabajo de 127739J.

Explicación:

Si el "techo del tanque" está 4 pies por debajo del suelo y su diámetro es de 5 pies, la gasolina está a una profundidad de entre 4 y 9 pies. Y la altura que debe subir (si es hasta 3 pies por encima del suelo) es de 7 y 12 pies. Podemos dividir el volumen del cilindro en diferenciales de altura dz, y definir una función que describa la distancia entre el eje z definido y la pared del tanque:

$(z-z_0)^2+x^2=R^2\\\\x=\sqrt{R^2-(z-z_0)^2}$

Entonces podemos establecer un diferencial de volumen en función de la profundidad:

$dV=dz.2xh=2h\sqrt{R^2-(z-z_0)^2}dz$

Y un diferencial de masa:

$dm=\delta.2h\sqrt{R^2-(z-z_0)^2}dz$

E introduciendo la altura que debe elevarse el combustible un diferencial de trabajo:

$dW=g.(3-z).\delta.2h\sqrt{R^2-(z-z_0)^2}dz\\z_0=-4ft-2,5ft=-6,5ft\\\\dW=g.\delta.2h(3-z).\sqrt{R^2-(z+6,5)^2}dz$

Podemos dividir el trabajo en dos, uno para elevar el combustible hasta el centro del tanque y otro para elevarlo 3+6,5=9,5 pies más, el trabajo para elevar el combustible hasta el centro del tanque es:

$dW=g.\delta.h.2(-6,5-z)\sqrt{R^2-(z+6,5)^2}dz\\\\W_1=g.\delta.h\int\limits^{-4}_{-9} {-2(6,5-z)\sqrt{R^2-(z+6,5)^2}} \, dz \\\\u=R^2-(z+6,5)^2; du=-2(x+6,5)dz\\\\W_1=g.\delta.h\int\limits^{-4}_{-9} {\sqrt{u}} \, du =g\delta.h.\frac{2}{3}(R^2-(z+6,5)^2)^{\frac{3}{2}}]^{-4}_{-9}$

Pasando todas las medidas a metros queda:

$W_1=g.h\delta[\frac{2}{3}(R^2-(z+1,97665)^2)^{\frac{3}{2}}]^{-1,2164}_{-2,7369}\\\\R=2,5ft=0,7605m; h=12ft=3,6492m\\\\W_1=9,81\frac{m}{s^2}.680\frac{kg}{m^3}.3,6492m[\frac{2}{3}((0,7605m)^2-(z+1,97665)^2)]^{-1,2164}_{-2,7369}\\\\W_1=6,1679-6,1679=0$

Y ahora el trabajo para elevar el combustible desde el centro del tanque hasta 3 metros arriba del suelo es:

$\Delta z=9,5ft=2,889m\\\\W_2=m.g.\Delta z=\delta.V.g.\Delta.z=\delta.\pi.R^2.h.g.\Delta z\\\\W_2=680\frac{kg}{m^2}.\pi.(0,7605m)^2.3,6492m.9,81\frac{m}{s^2}.2,889m\\\\W_2=127739J$