Question

La Municipalidad de San Juan de Miraflores de Lima cuenta con un presupuesto para mejorar la infraestructura de sus ambientes. El estudio de arquitectos RENUEVA SAC presentaron un proyecto del diseño para la remodelación de estos espacios.
El alcalde, ha participado en la exposición de este proyecto y les ha sugerido que en el tercer piso coloquen un tragaluz que tenga una forma elíptica con ciertas medidas. El arquitecto Félix ha escuchado atentamente las sugerencias del alcalde y ha propuesto la siguiente cónica en coordenadas polares que está representada de la siguiente manera:
√2 r-r Cosθ=2
El área encargada de la aprobación de proyectos ha decidido que dicha sugerencia es posible, es por ello iniciaran con la remodelación inmediatamente. Para ello se determinarán las siguientes tareas:
Convertir la ecuación polar propuesta a su ecuación cartesiana y determine su centro en coordenadas polares. (3 puntos)
Hallar la medida del eje menor y el eje mayor (2 puntos)

Answer 1

Al resolver el problema se obtiene:

La ecuación cartesiana: (x - 2)²/8 + y²/4 = 1

El centro en coordenadas polares es: C = (2, 0)

Las medidas del eje menor y mayor son: 2 y √8

Ecuación en coordenadas polares:  √2 r - r Cos(θ) = 2

Transformación

• x = r Cos(θ)
• r² =  x² + y²

Despejar Cos(θ);

Cos(θ) = x/r

Despajar r;

r = √(x² + y²)

sustituir;

√2  [√(x² + y²)]  - r(x/r) = 2

√2  [√(x² + y²)]  - x = 2

√2  [√(x² + y²)]  = x + 2

√(x² + y²)  = (x + 2)/√2

Elevar al cuadrado;

x² + y²  = (x + 2)²/2

2x² + 2y² = (x + 2)²

2x² + 2y² = x² + 4x + 4

x² - 4x + 2y² =  4

Sumar 4;

x² - 4x + 4 + 2y² =  4 + 4

(x - 2)² + 2y² = 8

Multiplicar 1/8;

Ec. Elipse: (x - 2)²/8 + y²/4 = 1

El centro es: C(2, 0) = (r, θ)

• x = r Cos(θ)
• r² =  x² + y²  ⇒ r = √((2)² + (0)²) = 2

θ = Tan⁻¹(y/x)

θ = Tan⁻¹(0/2)

θ  = 0

sustituir;

C = (2, 0)

Ec. Elipse

(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1

Siendo;

• a: eje mayor
• b: eje menor

a² = 8

a = √8

b² = 4

b = √4

b = 2