Question

La media cuadrática de dos enteros a y b es igual a √ a^2+b^2/2 Calculando las medias cuadráticas y geométricas de dos enteros positivos, formula una conjetura sobre cuál es mayor y demuestra tu conjetura.

Answer 1

Explicación paso a paso:

proposición o conjetura.- Sean a y b enteros positivos entonces la media geométrica de a y b es menor o igual a la media cuadrática de a y b, es decir, √a×b ≤ √(a²+b²)/2

Demostración

Por reducción al absurdo

Supongamos que √ab>√(a²+b²)/2

tenemos elevando al cuadrado

ab>(a²+b²)/2 multiplicamos por 2

2ab>a²+b² sumamos -2ab

a²-2ab+b²<0 factorizamos y obtenemos

(a-b)²<0 lo cual ves absurdo, ya que un número elevado al cuadrado es siempre mayor o igual a cero. Esta contradicción surge por el hecho de suponer que la media geométrica es mayor que la media cuadratica, por lo tanto se concluye que

√a×b ≤ √(a²+b²)/2 que es lo que se quería demostrar