La lonvitud en centímetros de una barra de hierro está dada por la fórmula P(×)=5^(2) mx n.cuando la barra se corta en trozos de (x 1)centímetros de longitud sabran 10 centímetros. Pero si se corta en trozos de × centímetros de longitud ,sobran 20 centímetros. Si la longitud de la barra inicial es de 560 centímetros.¿cuántos trozos de longitud ( × 2) centímetros podrán obtenerse como máximo?
Respuestas a la pregunta
Si se corta la barra de hierro en x+ 2 centímetros, también sobran 10 cm y se obtendrían 5(x+1) trozos de la barra y si p(x) = 560 se obtienen 50 pedazos
Para poder ver esto, debemos dividir el polinomio 5x²+mx+n entre x + 1, por lo que se tendría
| 5 m n
-1 | -5 5 - m
---------------------
| 5 (m - 5) (n + 5 - m)
El método utilizado es el de Ruffini, el cual nos da el polinomio
(5x²+mx+n) / (x + 1) = 5x + (m - 5)x + (n + 5 - m)/(x+1)
Ahora bien, el resto de la división es 10, que es n + 5 - m = 10 ⇒ n - m = 5
Ahora, si dividimos el polinomio 5x²+mx+n entre x, tenemos
(5x²+mx+n) / x = 5x + m + n/x
Y el resto de esta división es 20, por lo que n = 20, entonces n - m = 5, nos da que 20 - m = 5, m = 15 lo que implica que
P(x)= 5x²+15x+20.
Si dividimos esto entre x + 2, nos queda
| 5 15 20
-2 | -10 -10
---------------------
| 5 5 10
O 5x²+15x+20. = 5x + 5 + 10/(x+2) = 5(x+1) + 10/(x+2)
De esto deducimos que se obtienen 5(x+1) trozos de la barra y sobran 10 cm
Ahora, como p(x) = 560, tenemos
5x² + 15x + 20 = 560
x² + 3x + 4 = 112
x² + 3x - 108 = 0
Si se aplica la resolvente de segundo grado, se tiene que x = 9 y x = -12, pero x debe ser positiva, entonces x = 9. Si esto lo aplicamos a la fórmula anterior, se tienen 5(x+1) pedazos, es decir, 5(9+1) = 5*10 = 50 pedazos