Question

La longitud l, ancho ω y altura h de una caja cambian con el tiempo. En cierto
instante las dimensiones son l = 1m y ω = h = 2 m, y l y ω aumentan a razón de 2 m/s
mientras que h disminuye a razón de 3 m/s. Determine en ese instante las razones a las que
cambian las cantidades siguientes:
A) La longitud de la diagonal.

Answer 1

En el instante en que las dimensiones son:

l  =  1  m   y   ω  =  h  =  2  m,      y  l  y  ω  aumentan a razón de 2 m/s

mientras que  h  disminuye a razón de 3 m/s,  la longitud de la diagonal no cambia, pues la razón de cambio resulta nula.

Explicación paso a paso:

La longitud de la diagonal se define como una función multivariada de acuerdo a la fórmula de distancia entre puntos, según la gráfica anexa:

$\bold{d~=~f_{(\omega,~l,~h)}~=~\sqrt{\omega^2~+~l^2~+~h^2}}$

Se pide la razón de cambio de  d  en el tiempo.

Para este cálculo, aplicamos el concepto de la derivada total y la técnica de derivación en cadena; entendiendo que si la distancia depende del tiempo, entonces el largo, el ancho y la altura también son funciones que dependen del tiempo.

$\bold{\dfrac{df}{dt}~=~\dfrac{\partial f}{\partial \omega}\dfrac{d\omega}{dt}~+~\dfrac{\partial f}{\partial l}\dfrac{dl}{dt}~+~\dfrac{\partial f}{\partial h}\dfrac{dh}{dt}}$

Nuestro problema se reduce a calcular las derivadas parciales de la función longitud de la diagonal, con respecto a largo, ancho y altura, y aplicar la fórmula de derivación en cadena, sustituyendo los valores dados para responder a la situación planteada.

$\bold{\dfrac{\partial f}{\partial\omega}~=~\dfrac{\omega}{\sqrt{\omega^2~+~l^2~+~h^2}}}$

$\bold{\dfrac{\partial f}{\partial l}~=~\dfrac{l}{\sqrt{\omega^2~+~l^2~+~h^2}}}$

$\bold{\dfrac{\partial f}{\partial h}~=~\dfrac{h}{\sqrt{\omega^2~+~l^2~+~h^2}}}$

Evaluamos en los valores dados:

$\bold{(\omega,~l,~h)~=~(2,~1,~2)\qquad\dfrac{d\omega}{dt}~=~2~\dfrac{m}{s}\qquad\dfrac{dl}{dt}~=~2~\dfrac{m}{s}\qquad\dfrac{dh}{dt}~=~-3~\dfrac{m}{s}}$

$\bold{\dfrac{\partial f}{\partial\omega}|_{(2,1,2)}~=~\dfrac{2}{\sqrt{(2)^2~+~(1)^2~+~(2)^2}}~=~\dfrac{2}{3}}$

$\bold{\dfrac{\partial f}{\partial l}|_{(2,1,2)}~=~\dfrac{1}{\sqrt{(2)^2~+~(1)^2~+~(2)^2}}~=~\dfrac{1}{3}}$

$\bold{\dfrac{\partial f}{\partial h}|_{(2,1,2)}~=~\dfrac{2}{\sqrt{(2)^2~+~(1)^2~+~(2)^2}}~=~\dfrac{2}{3}}$

$\bold{\dfrac{df}{dt}|_{(2,1,2)}~=~(\dfrac{2}{3})(2)~+~(\dfrac{1}{3})(2)~+~(\dfrac{2}{3})(-3)~=~0}$

En el instante en que las dimensiones son:

l  =  1  m   y   ω  =  h  =  2  m,      y  l  y  ω  aumentan a razón de 2 m/s

mientras que  h  disminuye a razón de 3 m/s,  la longitud de la diagonal no cambia, pues la razón de cambio resulta nula.

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