Question

La longitud del segmento orientado, representa:

Answer 1

representa el modulo del vector. 
Ahora quieres la justificación. 
Bien, esto se deduce del teorema de Pitágoras. 
Supongamos que estamos en el subespacio Ɍ². Tomamos un vector centrado en el origen, con componente x igual a "a", y componente en y igual a "b", entonces el vector v esta definido por: 
v=(a,b) 
También podemos pensar al vector como un segmento, con extremos en (0,0) y (a,b). También podemos decir que este segmento determina un triangulo rectángulo, cuyos catetos tienen longitud "a" y "b" respectivamente. Si denotamos como h la longitud del segmento, por Pitágoras se tiene que: 
h² = a² + b² 
De donde: 
h = √(a² + b²) 
Pero √(a² + b²) no es mas que ||v||, es decir el módulo del vector. 
Por lo tanto queda demostrado que la longitud del segmento es igual al modulo del vector. 
El modulo de un vector surge de aplicar Pitágoras con el triángulo rectángulo que forma su proyección con los ejes coordenados. 
La demostración para el subespacio Ɍ³ es la misma, solo se añade la componente z, y se aplica Pitágoras en el espacio.