Question

La longitud del hilo que sujeta una cometa es de 15 m y el ángulo de elevación es de 30º. ¿Qué altura alcanza el cometa? a) 7,5 m b) 8,0 m c) 8,5 m d) 6,5 m e) N.A. Ayudaaa xfa

Answer 1

La cometa ha alcanzado una altura de 7,5 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

Es decir en estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Por ejemplo si se tuvieran los lados 1 k y 2 k, se puede decir que el lado 2 k es el doble del lado 1 k, por lo que no es lo que mide un lado sino que es una proporción entre los lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que una vez conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad.  

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 30-60 por sus ángulos

• Este triángulo tiene un ángulo de 30° y otro de 60°, donde el lado opuesto al ángulo de 30° medirá 1k y el lado opuesto al ángulo de 60° medirá k√3 y la hipotenusa medirá 2k (o el doble de lo que mida el primer lado) .En donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Tenemos un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura que ha alcanzado la cometa, el lado BC que representa la línea de suelo o plano horizontal y el lado AB es la longitud del hilo que sujeta a la cometa, el cual conforma con el piso un ángulo de elevación de 30°

Solución:

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos la longitud del hilo que sujeta a la cometa y de un ángulo de elevación de 30° que conforma el hilo de la cometa con el piso o la línea del suelo

• Longitud del hilo de la cometa = 15 metros

• Ángulo de elevación = 30° (ángulo notable)

• Debemos hallar que altura ha alcanzado la cometa

Vamos a relacionar estos datos con el seno del ángulo notable

Recordando que como tenemos un triángulo notable

$\boxed {\bold { sen (30)\° = \frac{1}{2} }}$

Planteamos

$\boxed {\bold { sen (30)\° = \frac{ cateto \ opuesto }{ hipotenusa } = \frac{AC}{AB} }}$

$\boxed {\bold { sen (30)\° = \frac{ altura \ de \ la \ cometa }{ longitud \ hilo \ de \ la \ cometa } = \frac{AC}{AB} }}$

$\boxed {\bold { altura \ de \ la \ cometa \ (AC) = longitud \ hilo \ de \ la \ cometa \ . \ sen (30)\° } }}$

$\boxed {\bold { altura \ de \ la \ cometa \ (AC) = 15 \ metros \ . \ sen (30)\° } }}$

Si

$\boxed {\bold { sen (30)\° = \frac{1}{2} }}$

$\boxed {\bold { altura \ de \ la \ cometa \ (AC) = 15 \ metros \ . \ \frac{1}{2} } }}$

$\boxed {\bold { altura \ de \ la \ cometa \ (AC) = 7,5 \ metros } }}$

La cometa se encuentra a una altura de 7, 5 metros

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La longitud del hilo que sujeta a la cometa mide 15 metros

Y resulta ser la hipotenusa del triángulo notable de 30-60

Por lo tanto al ser la hipotenusa del triángulo notable 30-60 medirá 2k

Planteamos

$\boxed {\bold { longitud \ hilo \ de \ la \ cometa = 15 \ metros = 2k } }}$

Donde despejaremos a la constante k

$\boxed {\bold { 2k= 15 \ metros } }}$

$\boxed {\bold { k = \frac{ 15 \ metros }{ 2 } } }}$

$\boxed {\bold { k= 7,5 } }}$

El valor de la constante k es de 7,5

Al ser este un triángulo notable  30°- 60° el cateto opuesto al ángulo notable de 30° -que equivale a la altura donde se encuentra la cometa - equivale a 1k

Planteamos

$\boxed {\bold { altura \ de \ la \ cometa \ (AC) = 1k } }}$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\boxed {\bold { altura \ de \ la \ cometa \ (AC) = 1 \ . \ 7,5 } }}$

$\boxed {\bold { altura \ de \ la \ cometa \ (AC) = 7,5 \ metros } }}$

La cometa se encuentra a una altura de 7, 5 metros