Question

La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 1 cm. mayor que el doble de la
longitud del cateto más corto, y el cateto mayor es 9 cm. menor que el triple del
cateto menor. Encuentra las longitudes de tres lados del triángulo.

Answer 1

En un triángulo rectángulo tenemos los lados a, b, c. Entonces planteamos:
SEA:
Cateto menor (a): X
Cateto mayor (b): (3X - 9)
Hipotenusa (c): (2X + 1)
RESOLVIENDO:
Utilizamos el Teorema de Pitágoras, en donde c² = a² + b², entonces:
(2X + 1)² = (X)² + (3X - 9)²
4X² + 4X + 1 = X² + 9X² - 54X + 81 ===> Operamos términos semejantes.
4X² 4X + 1 = 10X² - 54X + 81
0 = 6X² - 58X + 80
6X² - 58X + 80 = 0 ===> Simplificamos
$\frac{6X ^{2}-58X+80=0 }{2}$
3X² - 29X + 40 = 0 ===> Resolvemos por factorización.
(3X)² - 29(3X) + 120 = 0
(3X - 24) (3X - 5) = 0
3X - 24 = 0 ; 3X - 5 = 0

Obteniendo X₁:
3X - 24 = 0
3X = 24
X₁ = $\frac{24}{3}$
X₁ = 8 ===> Cateto menor (a). RESPUESTA

Obteniendo X₂:
3X - 5 = 0
3X = 5
X₂ = $\frac{5}{3}$ ===> Descartado (no satisface las condiciones del problema).

Ahora despejamos:
3(8) - 9 = ?
24 - 9 = 15 cm ===> Cateto mayor (b). RESPUESTA

2(8) + 1 = ?
16 + 1 = 17 ===> Hipotenusa (c). RESPUESTA

COMPROBACIÓN:
Evaluamos los catetos por Pitágoras, debiendo obtener 17, luego comprobamos:
$C ^{2}=(8) ^{2}+(15) ^{2}$
$C ^{2}=64+225$
$C ^{2}=289$
$C= \sqrt{289}$
$C=17\quad\checkmark\ El\ resultado\ es\ correcto.$
MUCHA SUERTE...!!!