Question

La hièrbola H tiene lasa asintotas 2x - 3y +12=0 y 2x + 3y=0. Si un vertice de H es (0,2), hallar la ecuacion de H

Answer 1

Dadas las dos ecuaciones 2x -3y +12 = 0 y 2x +3y=0 se procede a igualar las dos ecuaciones para encontrar su punto de corte, que corresponde al centro de la hiperbola:

2x - 3y = -12
2x +3y=0
Por eliminación se obtiene: 
4x=-12 ---> x = -3
Reemplazando en alguna de las ecuaciones se obtiene y = 2
Como no dio x= 0 con y = 0 , entonces la ecuacion de la hiperbola esta centrada en un punto arbitrario (no en el origen) por lo que la ecuacion de esta debe ser: 

(x-h)^2 / a^2 - (y-k)^2 / b^2 = 1 ---> de donde ya se tiene h y k --> h = -3 y K = 2 , solo resta conocer a y b , pero estos son posibles de conocer pues cuando se conocen las asintotas se pueden determinar de las pendientes de las rectas (en su forma explicita) : 

y = (2/3)x + 12 

y = (-2/3)x 

Donde cada una tiene la forma y = (b/a)x + r  , es claro ver que:

a = 3 y b = 2 por lo tanto la ecuación de la hipérbola es: 

(x+3)^2 / 3^2 - (y-2)^2 / 4^2 = 1