Question

La grúa pequeña está montada en un lado de la cama de una camioneta. Para la posición θ = 35º, determine la magnitud de la fuerza soportada por el pasador en O y la presión de aceite p contra el pistón de 40 mm de diámetro del cilindro hidráulico BC.
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Answer 1

La magnitud de la fuerza que soporta el punto de apoyo es de 2326N, y la presión del aceite en el cilindro es de 159,4kPa.

Explicación paso a paso:

En el brazo de la grúa, el peso del barril se reparte entre una componente perpendicular a la barra que ejerce un torque sobre el punto de apoyo O y que es compensada por una fuerza en el mismo y por el torque ejercido en el punto C, y una componente paralela al peso que se transmite directamente al punto O. Para la componente paralela de la fuerza en O tenemos:

$\alpha=90\°-\theta=90\°-35\°=55\°\\\\F_{Ox}=mg.cos(\alpha)=120kg.9,81\frac{m}{s^2}.cos(55\°)=675N$

Y la componente perpendicular ejerce en el punto A un torque que es compensado por el torque en C:

$F_{Ay}.(0,785m+0,34m)=F_{Cy}.0,34m\\\\m.g.sen(\alpha).1,125m=F_{Cy}.0,34m\\\\F_{Cy}=\frac{m.g.sen(\alpha).1,125m}{0,34m}=\frac{120kg.9,81\frac{m}{s^2}.sen(55\°).1,125m}{0,34m}\\\\F_{Cy}=3190N$

Entonces la componente perpendicular sobre el punto O es (planteando que la sumatoria de todas las fuerzas perpendiculares es 0):

$F_{Oy}+F_{Cy}=F_{Ay}\\\\F_{Oy}=F_{Ay}-F_{Cy}=mg.sen(\alpha)-3190N=120kg.9,81\frac{m}{s^2}.sen(55\°)-3190N\\\\F_{Oy}=-2226N$

Entonces la mangitud de la fuerza total sobre el punto O es:

$F_O=\sqrt{(F_{Ox})^2+(F_{Oy})^2}=\sqrt{(675N)^2+(2226N)^2}=2326N$

Ahora tenemos que hallar, aplicando el teorema del coseno, la longitud BC:

$BC=\sqrt{(0,34m)^2+(0,36m)^2-2.0,34m.0,36m.cos(90\°+\theta)}\\\\BC=0,621m$

El aceite del cilindro solo compensará la componente de la fuerza en C paralela al vástago, a través de la fuerza hidráulica. El ángulo entre el vástago y el brazo es:

$\frac{360mm}{sen(\beta)}=\frac{621mm}{sen(90\°+\theta)}\\\\\beta=sen^{-1}(\frac{360}{621}sen(90\°+35\°))\\\\\beta=28,35\°$

Entonces, si el diámetro del cilindro es de 110mm (0,11m), la presión del aceite queda:

$P.A=F_{CA}\\\\P=\frac{F_{CA}}{A}=\frac{F_{Cy}.sen(\beta)}{\frac{\pi.D^2}{4}}=\frac{3190N.sen(28,35\°)}{\frac{\pi.(0,11m)^2}{4}}\\\\P=159401Pa=159,4kPa$