Question

LA GROSSA DE NADAL
Tal com deus saber  i s'explica al vídeo, per Nadal es celebra a Espanya un popular sorteig de loteria. El premi més gros, conegut com a la grossa de Nadal otorga 400.000 € a cada dècim premiat. Al bombo del sorteig de Nadal hi ha 100.000 boles numerades del 00000 al  99.999 i totes tenen la mateixa probabilitat de sortir premiades amb la grossa de Nadal. Cal recordar que en els casos d'equiprobabilitat la probabilitat d'un esdeveniment es calcula  dividint els casos favorables pels casos possibles.

1) Raona si la següent afirmació és certa o falsa des d'un punt de vista matemàtic: "He comprat un nombre capicua pel sorteig de Nadal, ja que aquest té més probabilitat de sortir premiat". (5 punts)
2) Calcula la probabilitat que la grossa del proper sorteig sigui un nombre senar. (Escriu el càlcul i expressa el resultat en forma decimal i en %) (10 punts)

3) Quina és la probabilitat que la grossa acabi en 90? (Escriu el càlcul i expressa el resultat en forma decimal i en %) ( 10 punts)

EL PÒQUEREl pòquer és un joc de cartes que es juga amb la baralla francesa de 52 cartes repartides en 4 pals: diamants, cors, trèvols i piques. Cada pal té 13 cartes: l'1 ( anomenat as) , 2, 3, 4, 5 , 6 , 7, 8, 9, 10, J, Q i K.

4) Quina és la probabilitat que en la primera ma tinguis un poker de jotes. És a dir que tinguis la J de diamants, la J de cors, la J de trèvols i la J de piques. (Escriu el càlcul i expressa el resultat en forma decimal i en %) (Indicació: mira't atentament el vídeo del minut 4:20 al minut 5:30 vigila perquè al vídeo expressen la probabilitat en %). (20 punts)LA RULETAUn dels jocs més coneguts dels casinos és la ruleta americana. La ruleta americana és un joc d'atzar que consisteix en una roda que gira horitzontalment sobre el seu eix. El seu perímetre té 37 compartiments (tots d'igual amplitud) numerats del 0 al 36 de forma desordenada. El compartiment del 0 és de color verd, i dels altres 36 n'hi la meitat de negres (2,4,6,8,10,11,13,15,17,20,22,24,26,28,29,31,33,35) i l'altra meitat vermells (1,3,5,7,9,12,14,16,18,19,21,23,25,27,30,32,34,36).
Es tira una petita bola que gira en sentit contrari a la roda fins que cau en un dels compartiments que passa a ser el nombre guanyador i abans de que caigui la bola es fan apostes de a quin compartiment caurà. En cas de guanyar, el premi és major quan menys probable és l'esdeveniment al que hem apostat. Així per exemple si apostem a que la bola cau al compartiment 15 i guanyem el premi obtingut és 35 vegades el que hem apostat (apostem a un sol nombre per tant la probabilitat és poca i el premi és gran). Si apostem a que la bola cau a un compartiment vermell i guanyem el premi és  la quantitat apostada (estem apostant a 18 nombres, la probabilitat és més gran i per tant el premi és més petit).Tot i que si has seguit l'entrevista al Sr. Pelayo les ruletes tenen petites imperfeccions, per respondre a les següents preguntes considera que la ruleta és del tot perfecte.  

5)  Quina és la probabilitat de la bola caigui al 0? Escriu el càlcul i expressa el resultat en forma decimal i en %. (10 punts)  

6)  Dos amics aposten la mateixa quantitat a dos esdeveniments diferents:El primer aposta a que la bola caurà  a un compartiment assenyalat amb un nombre entre 1 i 18 inclosos (aquesta aposta es coneguda com FALTA)El segon aposta a que la bola caurà a un compartiment de color negre. Quin dels dos obtindrà un major premi en cas de guanyar? Cal que calculis la probabilitat de cada esdeveniment i després responguis de forma raonada a la pregunta.(Recorda que en cas de guanyar, el premi és major quan menys probable és l'esdeveniment al que hem apostat)(25p)  

7)  Quina és la probabilitat que la bola caigui en un compartiment negre i parell? (20 punts)

Answer 1

El primer es digerible. Els altres són més complicats.

1) Des d'un punt de vista matemàtic no es certa l'afirmació que diu això perquè el nombre capicua no és, ni més ni menys, que un nombre més del bombo i no té cap justificació que pel fet de dur la mateixa xifra al davant i al darrere obtinga més possibilitats de eixir premiat. És el meu raonament.
===========================================

2) Per a que la grossa acabe en nombre senar haurem d'immobilitzar eixa xifra del final i combinar les altres quatre. El total de combinacions (seràn VARIACIONS a efectes de càlcul perquè l'ordre sí que importa per a distingir entre una i una altra) el multiplicarem per cinc que són les xifres senars que hem de fixar com últim dígit del nombre, això és: 1,3,5,7,9... anem-hi:

VARIACIONS AMB REPETICIÓ DE 10 ELEMENTS (DEL 0 AL 9)
PRESOS DE 4 EN 4 = 10⁴ = 10.000 ... que multiplique per 5 = 50.000 maneres de combinar les xifres amb la condició descrita a l'enunciat. Això serien els casos favorables.

Anem a calcular el casos posibles (espacio muestral).
Són VARIACIONS AMB REPETICIÓ DE 10 ELEMENTS
PRESOS DE 5 EN 5 = 10⁵ = 100.000
... que d'altra banda es obvi ja que hi ha just el doble de combinacions si es tenen en compte totes les xifres que si només es compten les acabades en nombre senar.

Per tant, la probabilitat que ixca un nombre senar es just la mitad:
Casos favorables / Casos posibles = 50000 / 100000 = 0,5 (en forma decimal)
En percentatge serà un 50%.
=========================================

3) Que la grossa acabe en 90 també es calcula fàcil ja que en aquest cas hem de fixar les dos últimes xifres del nombre i combinar les altres 3. De la mateixa manera que abans:

Casos favorables: VARIACIONS AMB REPETICIÓ DE 10 ELEMENTS
PRESOS DE 3 EN 3 = 10³ = 1000 nombres amb el 90 al final.

Probabilitat: 90 / 100000 = 0,00009 (en forma decimal)
90 / 100000 = 9/10000 = 0,09 % (en forma de percentatge)

Salut.