Question

La gráfica es 9x² - 16y² + 36x + 32y - 124 = 0
A) Determina las coordenadas de los vértices
B) determinar las ecuaciones de sus asintotas
C) Determina las coordenadas de los focos de la hipérbola AYUDA EN LO QUE ME HACE FALTA ES PARA HOY​

Answer 1

Para poder determinar los elementos de la hipérbola, tendremos que llevar la ecuación que tenemos a la siguiente forma:

                                      $\boxed{\boldsymbol{\sf{\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1 }}}$

Por ello completaremos cuadrados

  $\begin{array}{c}\sf{9x^2 - 16y^2 + 36x + 32y - 124 = 0}\\\\\sf{9x^2 +36x- 16y^2 + 32y - 124 = 0}\\\\\sf{(3x)^2 +2(3x)\boldsymbol{\sf{(6)}}- (4y)^2 + 2(4y)\boldsymbol{\sf{(4)}} - 124 = 0}\\\\\sf{(3x)^2 +2(3x)(6)+\boldsymbol{\sf{(6)^2}}-\boldsymbol{\sf{(6)^2}}- \bigg[(4y)^2 - 2(4y)(4)+\boldsymbol{\sf{(4)^2}}-\boldsymbol{\sf{(4)^2}}\bigg] - 124 = 0}\\\\\sf{(3x+6)^2-\boldsymbol{\sf{36}}- \bigg[(4y-4)^2-\boldsymbol{\sf{16}}\bigg] - 124 = 0}\\\\\end{array}$

                             $\begin{array}{c}\sf{(3x+6)^2-36-(4y-4)^2+16-124=0}\\\\\sf{(3x+6)^2-(4y-4)^2-144=0}\\\\\sf{\bigg((3x+6)^2-(4y-4)^2\bigg)\dfrac{1}{144}=\bigg(144\bigg)\dfrac{1}{144}}\\\\\sf{\dfrac{(3x+6)^2}{144}-\dfrac{(4y-4)^2}{144}=1}\\\\\sf{\dfrac{(3(x+2))^2}{144}-\dfrac{(4(y-1))^2}{144}=1}\\\\\sf{\dfrac{9(x+2)^2}{144}-\dfrac{16(y-1)^2}{144}=1}\\\\\end{array}$

                                       $\begin{array}{c}\sf{\dfrac{\dfrac{9(x+2)^2}{9}}{\dfrac{144}{9}}-\dfrac{\dfrac{16(y-1)^2}{16}}{\dfrac{144}{16}}=1}\\\\\sf{\dfrac{\dfrac{9(x+2)^2}{9}}{16}-\dfrac{\dfrac{16(y-1)^2}{16}}{9}=1}\\\\\boxed{\boxed{\boldsymbol{\sf{\dfrac{(x+2)^2}{4^2}-\dfrac{(y-1)^2}{3^2} = 1 }}}}\end{array}$

Ya teniendo esto podemos determinar sus elementos fácilmente

A) Determina las coordenadas de los vértices

Los vértices tendrán la siguiente forma: V1 = (h-a,k) y V2 =(h+a,k)

                            $\begin{array}{c}\sf{\dfrac{(x-\overset{\displaystyle\overset{h}{\downarrow}}{(-2)})^2}{\overset{\displaystyle {4}^2}{\overset{\downarrow}{a}}}-\dfrac{ (y-\overset{\displaystyle\overset{k}{\downarrow}}{1})^2}{\overset{\displaystyle {3}^2}{\overset{\downarrow}{b}}} = 1}\\\\\\\begin{array}{ccccc}\sf{V_1=(-2 + 4,1)}&&&\sf{V_2=(-2 - 4,1)}\\\\\boxed{\boldsymbol{\sf{V_1 = (2,1)}}}&&&\boxed{\boldsymbol{\sf{V_2 = (-6,1)}}}\end{array}\end{array}$

B) Determinar las ecuaciones de sus asintotas

Las asíntotas tendrán la siguiente forma: $\sf{y_1 - k = -\dfrac{b}{a}(x-h)}$ y $\sf{y_2-k = \dfrac{b}{a}(x-h)}$

                      $\begin{array}{c}\sf{\dfrac{(x-\overset{\displaystyle\overset{h}{\downarrow}}{(-2)})^2}{\overset{\displaystyle {4}^2}{\overset{\downarrow}{a}}}-\dfrac{ (y-\overset{\displaystyle\overset{k}{\downarrow}}{1})^2}{\overset{\displaystyle {3}^2}{\overset{\downarrow}{b}}} = 1}\\\\\\\begin{array}{ccccc}\sf{y_1-k = -\dfrac{b}{a}(x-h)}&&&\sf{y_2-k = \dfrac{b}{a}(x-h)}\\\\\boxed{\boldsymbol{\sf{y_1 = -\dfrac{3}{4}(x+2)+1}}}&&&\boxed{\boldsymbol{\sf{y_1 = \dfrac{3}{4}(x+2)+1}}}\end{array}\end{array}$

C) Determina las coordenadas de los focos de la hipérbola

Los focos tendrán la siguiente forma: F1 = (h-c,k) y F2 =(h+c,k) siendo c² = a² + b², entonces

                              $\begin{array}{c}\sf{\dfrac{(x+2)^2}{\overset{\displaystyle {4}^2}{\overset{\downarrow}{a}}}-\dfrac{ (y-1)^2}{\overset{\displaystyle {3}^2}{\overset{\downarrow}{b}}} = 1}\\\\\\\sf{c^2=a^2+b^2}\\\\\sf{c^2 = 4^2 + 3^2}\\\\\sf{c= \sqrt{25}}\\\\\sf{c = 5}\\\begin{array}{cccc}\\\sf{F_1=(h-c,k)}&&&\sf{F_2=(h+c,k)}\\\\\boxed{\boldsymbol{\sf{F_1=(-7,1)}}}&&&\boxed{\boldsymbol{\sf{F_2=(3,1)}}}\\\end{array}\end{array}$

Todos los elementos lo puedes ver en la gráfica.

                                            $\boxed{\sf{{R}}\quad\raisebox{10pt}{ \sf{\red{O}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{\red{O}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{{G}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{{G}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{\red{H}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{\red{H}} }\quad\raisebox{10pt}{ \sf{{E}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{{E}} }\quad\sf{\red{R}}}\hspace{-64.5pt}\rule{10pt}{.2ex}\:\rule{3pt}{1ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{2ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{1ex}\:\rule{10pt}{.2ex}$