Question

La gráfica de la función y=p√x-qx+1 pasa por los puntos (-4,1) y (1,2). Determine los valores de p y q.

Answer 1

Para que la función pase por los puntos (-4,1) y (1,2) tiene que ser $p=\sqrt{\frac{17}{5}}$ y $q=\frac{14}{17}$.

¿Cómo hallar la función requerida de la familia de funciones?

Si la gráfica de la función pasa por los puntos (-4,1) y (1,2) podemos plantear dos ecuaciones donde es x=-4, y=1 y x=1, y=2, entonces nos va a quedar un sistema de ecuaciones con dos incógnitas:

$1=p\sqrt{-4-q(-4)+1}= > 1=p\sqrt{4q-3}\\\\2=p\sqrt{1-q(1)+1}= > 2=p\sqrt{2-q}$

Como las ecuaciones no son lineales no podemos aplicar los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Podemos dividir miembro a miembro la segunda ecuación por 2 y compararla con la primera:

$1=\frac{p\sqrt{2-q}}{2}=p\frac{\sqrt{2-q}}{2}\\\\1=p\sqrt{4q-3}\\\\\frac{\sqrt{2-q}}{2}=\sqrt{4q-3}\\\\\frac{2-q}{4}=4q-3$

De aquí podemos despejar el valor de q:

$2-q=16q-12\\\\17q=14\\\\q=\frac{14}{17}$

Ahora, solo podemos reemplazar el valor de q que encontramos y reemplazarlo en una de las ecuaciones para despejar p:

$2=p\sqrt{2-\frac{14}{17}}\\\\2=p\sqrt{\frac{20}{17}}\\\\p=\frac{2}{\sqrt{\frac{20}{17}}}=\sqrt{\frac{4}{\frac{20}{17}}}=\sqrt{\frac{17}{5}}$

Entonces la función queda así $y=\sqrt{\frac{17}{5}(x-\frac{14}{17}x+1)}$.

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