La ganancia semanal de una empresa se relaciona con el número de artículos producidos cada semana y esto se puede representar por la función:
p(x)=-2x²+96x-52
dónde p representa la ganancia semanal en pesos y “x” el número de artículos producidos por semana.
a)Representar gráficamente esta situación.
b)Si la empresa produce 26 artículos en una semana ¿Cuál será su ganancia?
c)Determina cuántos artículos deberá producir la empresa a la semana para que obtenga una ganancia máxima.
**¡Mandar foto de la gráfica por favor!
Respuestas a la pregunta
Vertice: (X , Y)
[(-b/2a) , (-b²/4a) + c]
f(x) = ax² + bx + c
En nuestro caso a = -2; b = 96; c = -52
-b/2a = -96/2(-2) = 96/4 = 24
(-b²/4a) + c
[-(96)²/4(-2)] - 52 = 1100
Vertice en el punto (52 , 1100)
b)
P(x) = -2X² + 96X - 52
Para X = 26
P(26) = -2(26)² + 96(26) - 52
= -2(676) + 2496 - 52
= -1352 + 2496 - 52
= 1092
Para 26 Articulos se tiene una ganacia de $1092
c) Para Hallar la ganacia maxima debemos aplicar el criterio de la primera y segunda derivada
P(x) = -2X² + 96X - 52
P´(x) = -2(2X) + 96
P´(x) = -4X + 96
Hacemos P´(x) = 0
0 = -4X + 96
4X = 96
X = 24
Reemplazamos este valor de X = 24 en:
P(x) = -2X² + 96X - 52
P(24) = -2(24)² + 96(24) - 52
P(24) = -2(576) + 2304 - 52
P(24) = 1100
Con 24 Articulos se produce una ganacia de 1100
Ahora hallamos la segunda derivada
P´´(x) = -4 Tenemos un maximo para X = 24
Con 24 Articulos se produce una ganacia maxima de 1100
Te anexo la grafica en formato pdf
La ganancia semanal de una empresa se puede obtener:
a) La gráfica de la situación se puede ver en la imagen adjunta.
b) La ganancia de la empresa que produce 26 artículos en la semana es:
$1100
c) La cantidad de artículos que deberá producir la empresa a la semana para que obtenga una ganancia máxima es:
24
¿Cómo obtener máximos y mínimos?
Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.
Criterio de la segunda derivada:
- Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
- Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.
b) ¿Cuál será su ganancia? ¿Cuántos artículos deberá producir la empresa a la semana para que obtenga una ganancia máxima?
Siendo la ganancia: p(x) = -2x² + 96x - 52
Aplicar primera derivada;
p'(x) = d/dx ( -2x² + 96x - 52)
p'(x) = -4x + 96
Aplicar segunda derivada;
p''(x) = d/dx (-4x + 96)
p''(x) = -4 ⇒ Máximo relativo
Igualar a cero la primera derivada;
4x = 96
x = 96/4
x = 24 artículos
Sustituir;
pmax = -2(24)² + 96(24) - 52
pmax = $1100
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