La función de demanda para el fabricante de un producto es p = (100 - 5q) p=200-5q, donde "p"“p” es el precio (en soles) por unidad cuando se demandan "q" unidades (por semana). Determine el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y determine ese ingreso
Respuestas a la pregunta
El nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante es de 10 unidades a la semana, lo que representa un ingreso máximo de 500 soles.
Explicación paso a paso:
En principio vamos a aclarar que la tarea tiene dos enunciados para la función precio. La respuesta será elaborada para el primer enunciado, asumiendo que este es el correcto.
La función ingreso total viene dada por:
I = (precio por unidad)(cantidad de unidades vendidas)
En este caso:
I = (100 - 5q)(q) = 100q - 5q²
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos el o los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de I.
I' = 100 - 10q
I' = 0 ⇒ 100 - 10q = 0 ⇒ q = 10
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
I'' = -10
Tercero, evaluamos la segunda derivada en cada punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
I''₍₁₀₎ < 0 ⇒ q = 10 es un máximo de la función I.
I₍₁₀₎ = 100(10) - 5 (10)² = 500
Se concluye que vendiendo 10 unidades a la semana, se obtiene el máximo ingreso total. Este ingreso máximo es de 500 soles.