Question

La función cúbica f(x)=x^{3}-6x^{2}+8x+k posee tres raíces o cortes con el eje de las x. Proponga un valor para k de tal manera que la gráfica solo tenga dos cortes con el eje x. Proponga una valor para k de tal manera que solo tenga un corte con el eje x. ¡Es posible que exista una valor para k de tal manera que la gráfica NO tenga cortes con el eje x?

(por favor ayúdenme :3

Answer 1

El efecto que tiene k al ser constante, es que se pone arriba o debajo (valor positivo y negativo respectivamente) de la gráfica original.

Gráficas la función:

f(x) = x³ - 6x² + 8x (imagen, color rojo)

Hay 3 cortes, la manera para hacer que hayan 2 cortes es usando derivadas, ya que se requiere el valor exacto.

En la gráfica original puedes ver un crecimiento en más o menos 1 y más o menos 3, luego crece indefinidamente.

Entre esas 2 partes hay un mínimo, por lo que hay que subir la gráfica para que ése mínimo sea nuestro valor.

Primer criterio de las derivadas: Al evaluar una derivada e igualar a 0 se obtienen los puntos críticos.

Entonces:

f'(x) = 3x² - 12x + 8 -- > 3x² - 12x + 8 = 0

Esto está difícil para factorizar, por lo que por facilidad usas la fórmula general, para este caso:

a = 3

b = - 12

c = 8

$x = \dfrac{ - b \pm \: \sqrt{ {b}^{2} - 4ac} }{2a} \\ x = \dfrac{ - ( - 12) \pm \sqrt{ {( - 12)}^{2} - 4(3)(8)} }{2(3)} \\ x = \dfrac{12 \pm \: \sqrt{144 - 96} }{6} \\ x = \dfrac{12 \pm \: \sqrt{48} }{6} \\ x_{1} = \dfrac{12 + \sqrt{48} }{6} \to \: x_{1} = 3.1547 \\ x_{2} = \dfrac{12 - \sqrt{48} }{6} \to \: x_{2} = 0.845299$

Por la gráfica se aprecia que en x1 está el mínimo y el x2 el máximo, pero si requieres otra forma de comprar esto, usamos el criterio de la segunda derivada:

f''(x) > 0 Mínimo

f''(x) < 0 Máximo

Entonces:

f''(x) = 6x - 12

Evaluamos en x=3.1547:

f''(3.1547) = 6.9282 -- > Mínimo

Evaluamos en x=0.945299

f''(0.945299) = - 6.328206 -- > Máximo

Entonces, como puedes ver, ya está hecho.

Ahora, el valor obtenido no es que debemos usar, ya que la constante hace que la gráfica se mueva arriba o abajo, entonces, tendremos que tener un valor de y, por decirlo así, y este valor lo obtienes al evaluar la función en el mínimo:

f(3.1547)=(3.1547)³-6(3.1547)²+8(3.1547)

f(3.1547) ≈ -3.0792

Esto es una aproximación, ya que tiene más números.

Ese es el mínimo, pero ahora, al mínimo lo queremos alzar para que sea el punto de corte, por lo que k debe tener el mismo valor, pero diferente signo, sería positivo porque va para arriba.

Entonces, k = 3.0792

f(x) = x³ - 6x² + 8x + 3.0792

Para que tenga 1 solución sólo debe pasar el valor del mínimo (el que pusimos anteriormente), puede ser por ejemplo 3.08, 3.09, 5, 10, 20191, el que sea vaya.

Por ejemplo, k = 4

f(x) = x³ - 6x² + 8x + 4

No es posible tener 0 soluciones, ya que como mencioné, la constante sólo afecta a si pones más arriba o más abajo la nueva gráfica, más no afecta la naturaleza de la misma, la función cúbica se caracteriza por tener como mínimo 1 corte, ya que al tener 1 mínimo y un máximo tiene ciertos recorridos crecientes y decrecientes, en el cual el creciente es en el que siempre encontrarás el primer corte.