Question

La fuerza de atracción gravitacional entre dos cuerpos de igual masa es de 1000N, cuando se encuentran separados por 100m. ¿Cuál es la magnitud de sus masas?

Answer 1

La magnitud de la masa de cada uno de los cuerpos es de:

$\large\boxed{ \bold{ m = \ 3.87201546\ . \ 10^{8} \ kg }}$

Solución

Determinamos la masa de los dos cuerpos

Teniendo ambas masas el mismo valor

Donde sabemos que

La fuerza de atracción gravitacional entre los dos cuerpos es:

$\large\boxed{ \bold{ F_{g} = 1000 \ N }}$

Empleamos la fórmula

$\large\boxed{ \bold{ F_{g} = G\ \frac{m_{1} \ . \ m_{2} }{ d^{2} } }}$

Donde

$\large\boxed {\bold {G = 6,67 \ . \ 10^{-11} \ \frac{N \ m ^{2} }{kg^{2} }}}$

Donde

$\bold{ m_{1},\ \ m_{2}} \ \ \ \ \large\textsf{Masa de los cuerpos }$

$\bold{ d} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Distancia }$

$\bold{ F} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza atracci\'on masas }$

$\bold{ G} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Constante de gravitaci\'on universal }$

Como debemos hallar la masa de los cuerpos,

$\large\textsf{Despejamos la variable masa }$

$\large\boxed{ \bold{ F_{g} = G\ \frac{m_{1} \ . \ m_{2} }{ d^{2} } }}$  

$\large\boxed{ \bold{ F_{g} \ . \ d^{2} \ = G\ .\ m_{1} \ . \ m_{2} }}$

$\large\boxed{ \bold{ m_{1} \ . \ m_{2} =\ \frac{ F_{g} \ . \ d^{2} }{G} }}$

Como las masas son iguales

$\bold { m_{1 } = m_{2} }$    ⇒   $\bold { m_{1 } \ . \ m_{2 } =m^{2} }$

$\large\boxed{ \bold{ m^{2} =\ \frac{ F_{g} \ . \ d^{2} }{G} }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$            

$\boxed{ \bold{ m^{2} =\ \frac{ 1000 \ N \ . \ (100 \ m) ^{2} }{ 6,67 \ . \ 10^{-11} \ \frac{N \ m^{2} }{kg^{2} } } }}$

$\boxed{ \bold{ m^{2} =\ \frac{ 1000 \ N \ . \ 10000 \ m ^{2} }{ 6,67 \ . \ 10^{-11} \ \frac{N \ m^{2} }{kg^{2} } } }}$

$\boxed{ \bold{ m^{2} =\ \frac{ 10000000 \not N \not m ^{2} }{ 6,67 \ . \ 10^{-11} \ \frac{\not N \not m^{2} }{kg^{2} } } }}$

$\boxed{ \bold{ m^{2} =\ \frac{ 10000000 }{ 6,67 \ . \ 10^{-11} } \ kg^{2} }}$

$\textsf{Agrupamos coeficientes y exponentes para operar en notaci\'on cient\'ifica }$

$\boxed{ \bold{ m^{2} = \left( \frac{10000000}{6,67} \right) \ \left( \frac{ 1 }{ 10^{-11} } \right) \ kg^{2} }}$

$\boxed{ \bold{ m^{2} = 1499250.37481259 \ . \ \frac{ 1 }{ 10^{-11} } \ kg^{2} }}$

$\boxed{ \bold{ m^{2} = 1499250.37481259 \ . \ 10^{11} \ kg^{2} }}$

$\boxed{ \bold{ m^{2} = 1.49925037 \ . \ 10^{17} \ kg^{2} }}$

$\boxed{ \bold{ m^{2} = 0.14992503 \ . \ 10^{18} \ kg^{2} }}$

$\boxed{ \bold{ m =\pm \sqrt{ 0.14992503 \ . \ 10^{18} \ kg^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{ m =\pm \ 0.38720154\ . \ 10^{9} \ kg }}$

$\boxed{ \bold{ m =\pm \ 3.87201546\ . \ 10^{8} \ kg }}$

$\large\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$

$\boxed{ \bold{ m = \ 3.87201546\ . \ 10^{8} \ kg \ , - 3.87201546\ . \ 10^{8} \ kg }}$

$\large\textsf {Se toma el valor positivo de m }$

$\large\boxed{ \bold{ m = \ 3.87201546\ . \ 10^{8} \ kg }}$

Siendo este valor la magnitud de cada una de las masas de los cuerpos