Question

La figura muestra varios términos de una sucesión formada por círculos y cuadrados.
Cada círculo está inscrito en un cuadrado y cada cuadrado (excluyendo el mayor) está inscrito en un círculo.
Denote con S n el área del n -ésimo cuadrado y C n el área del n -ésimo círculo.

1.Encuentre las relaciones entre S n y C n y entre C n y S n + 1 .

2.¿Qué parte del máximo cuadrado está sombreada en la figura?

Answer 1

1) La relación entre Sn/Cn = 4/π y Cn/(Sn + 1) = π/4.

2) La parte del máximo cuadrado que está sombreada es de π/4.

Explicación.

Para resolver este problema se tiene que as ecuaciones para el área del cuadrado y de la circunferencia, las cuales son las siguientes:

Sn = L²

Cn = π*D²/4

Los datos son los siguientes:

L = D = x

Ahora respondiendo los incisos se tiene que:

1) Sn/Cn = (x²)/(π*x²/4)

Sn/Cn = 4/π

Cn/(Sn + 1) = (π*x²/4)/(x²)

Cn/(Sn + 1) = π/4

2) La parte sombreada del cuadrado total es de π/4.

Answer 2

Explicación paso a paso:

Definiremos un lado cualquiera como : "$x$"

Inicialmente tendremos que sacar los lados para sacar el área del cuadrado:

$L_{1} =x$ siendo el lado inicial, el lado del siguiente se calculara por Pitágoras, notamos que el lado del cuadrado inclinado corresponde al Pitágoras de sus mitades.

• $(L_{2})^2 =(\frac{x}{2}})^{2} * (\frac{x}{2}})^{2}$, por propiedad, si 2 lados son iguales, Pitágoras sera el lado multiplicado por $\sqrt{2}$ (Triangle1.gif), y ya que son mitades sera divido por 2

Por lo tanto $(L_{2})= x *\frac{\sqrt{2}}{2}$  ⇒ $(L_{2})= (L_{1}) *\frac{\sqrt{2}}{2}$

Cumpliéndose una progresión geométrica:

Donde el n-ésimo termino está dado por :

$a_{n}= a_{1} r^{n-1}$

Calcular el área no será mas que elevar esta expresión al cuadrado:

$(L_{n})^2 =( x * (\frac{\sqrt[]{2} }{2})^{n-1})^2$ ⇒ $S_{n} =( x * (\frac{\sqrt[]{2} }{2})^{n-1})^2$  Se distribuye el ^2 :

Siendo el área del cuadrado n-ésimo:

$S_{n} =x^2* (\frac{1}{2})^{n-1}$

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Para el área del circulo se cumple la misma propiedad:

Radio:

$r_1= \frac{x}{2}$ , osea, el L1 multiplicado por $\frac{1}{2}$

$r_2= \frac{(x*\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}$ , osea el L2 multiplicado por $\frac{1}{2}$

Entonces se tiene otra progresión geométrica:

$r_n= L_n * \frac{1}{2}$  ⇒ $(x * (\frac{\sqrt[]{2} }{2})^{n-1}) * \frac{1}{2}$

Área de un circulo: $A=\pi r^2$

Calcular el área no será mas que elevar el radio al cuadrado y multiplicar por $\bold\pi$:

Siendo el área del circulo n-ésimo:

$C_n= (r_n)^2 * \pi$

$C_n= [(x * (\frac{\sqrt[]{2} }{2})^{n-1}) * \frac{1}{2}]^2*\pi$

$C_n= (x^2* (\frac{1}{2})^{n-1}) * \frac{1}{4} * \pi$

La primera expresión ya la calculamos :

$C_n= (x^2* (\frac{1}{2})^{n-1}) * \frac{ \pi}{4}$

$C_n= S_n * \frac{\pi}{4}$ //

1.- Su relación:

1.a) Entre $S_n$ y $C_n$ : $\frac{S_n}{C_n}$

De la expresión anterior se tiene:

$C_n= S_n * \frac{\pi}{4}$

$\frac{1}{\frac{\pi}{4} }=\frac{S_n}{C_n}$

Por lo tanto su relación es de $\frac{4}{\pi}$ //

1.b) Entre $C_n$ y $S_{n+1}$ : $\frac{C_n}{S_{n+1}}$

$S_{n+1} =x^2* (\frac{1}{2})^{(n+1)-1}$

$S_{n+1} =x^2* (\frac{1}{2})^{n}$

Entonces:

$\frac{C_n}{S_{n+1}}= \frac{ (x^2* (\frac{1}{2})^{n-1}) * \frac{ \pi}{4}}{x^2* (\frac{1}{2})^{n}}$ , se simplifica:

$\frac{C_n}{S_{n+1}} = \frac{\frac{\pi }{4} }{(\frac{1}{2})^{-1}}$

$\frac{C_n}{S_{n+1}} = {\frac{\pi }{4}} * 2$

Por lo tanto, su relación es de $\frac{\pi }{2}$

2.- Área sombreada:

Siendo el área sombreada, la resta entre el área del cuadrado con la del circulo.

$(S_n)-(C_n) = [(x^2* (\frac{1}{2})^{n-1}) * \frac{ \pi}{4}] - [(x^2* (\frac{1}{2})^{n-1}]$

Ocupando alguna calculadora:

$(S_n)-(C_n) =\pi* 2^{(-n - 1)} x^2 - 2^{(1 - n)} x^2$

$(S_n)-(C_n) = 2^{(-n - 1)} *x^2*(\pi -4)$

Por lo que se ve en la imagen, son 7 veces.

Entonces: se remplazaran y sumaran cada uno 7 veces.

$(S_1 - C_1) + (S_2-C_2) + ... (S_7 - C_7)$ = X