La figura muestra un cable ligero y flexible enrollado en un cilindro sólido de masa M=3kg y radio R. El cilindro puede girar sin fricción sobre un eje horizontal fijo. El extremo libre del cable está atado a un bloque de masa m=0.5 kg. El sistema se libera desde el reposo, cuando el bloque se encuentra a una altura h sobre el piso. Conforme el bloque cae, el cable se desenrolla sin resbalar, haciendo girar el cilindro. Calcule la aceleración del bloque. Considere que g=9.8 m/s^2.
Respuestas a la pregunta
La magnitud de la aceleración del bloque de masa "m" es igual a:
a = 3.27 m/s²
Analizando el cilindro como un cuerpo rígido , la sumatoria de los torques en el eje horizontal "x" es igual a la variación del momento angular del cilindro por unidad de tiempo:
- ∑Mx = dL / dt
La variación del momento angular por unidad se tiempo se define como la Inercia del cilindro sobre el eje "x" multiplicada por la aceleración angular del cilindro.
- dL / dt = Ix * α
La única fuerza que ejerce un torque sobre el cilindro es el peso del bloque de masa "m" y dicho momento es igual a :
- ∑Mx = m * g * R
Buscamos en la literatura la inercia de un cilindro macizo sobre su eje horizontal:
- Ix = (1/2) * M * R²
Entonces sustituyendo estas tres ultimas ecuaciones en la primera,
- m * g * R = (1/2) * M * R² * α
- α = 2 * m * g / M * R
Como nos piden la aceleración del bloque de masa "m", simplemente multiplicamos la aceleración angular del cilindro por el radio del mismo:
- a = α * R
- a = 2 * m * g / M
- a = 2 * 0.5Kg * 9.8m/s² / 3Kg
- a = 3.27 m/s²