La familia de Alonso decide ir a su casa de Santa Eulalia para recrearse, ya que aún no se puede salir con seguridad a ningún centro de esparcimiento. La casa de Santa Eulalia tiene un jardín de forma rectangular de 80 m de perímetro. Su largo es 20 m más que su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del jardín?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
El jardín de la casa de Mario tiene una forma rectangular con x metros de ancho y (x+5) metros de largo. El jardín tiene 104 m² de área. ¿Cuál es la medida del largo del jardín y perímetro del jardín?
La medida del largo del jardín rectangular es de 13 metros. Su perímetro es de 42 metros
Datos:
Largo del jardín = (x + 5) metros
Ancho del jardín = x metros
Área del jardín = 104 m²
Procedimiento:
El área de un rectángulo es igual al Largo multiplicado por su Ancho.
Área = Largo × Ancho
Reemplazando,
\boxed{A =(x+5).x }
A=(x+5).x
\boxed{A =x^{2} +5x }
A=x
2
+5x
Sabemos por enunciado que el área del jardín = 104 m²
Entonces sustituimos en la expresión,
\boxed{A = x^{2} +5x =104 }
A=x
2
+5x=104
\boxed{A = x^{2} +5x -104 }
A=x
2
+5x−104
Tenemos entonces una ecuación de segundo grado
\boxed{ x^{2} + 5x - 104 = 0 }
x
2
+5x−104=0
Siendo a = 1, b = 5 y c = -104
Donde emplearemos la forma cuadrática para encontrar las soluciones
\boxed{\frac{-b \pm\sqrt{b^{2} {-4ac} } }{2a} }
2a
−b±
b
2
−4ac
\boxed{\frac{-5 \pm\sqrt{5^{2} {-4.(1.-104)} } }{2.1} }
2.1
−5±
5
2
−4.(1.−104)
\boxed{\frac{-5 \pm\sqrt{25 {-4.-104} } }{2} }
2
−5±
25−4.−104
\boxed{\frac{-5 \pm\sqrt{25 {+416} } }{2} }
2
−5±
25+416
\boxed{\frac{-5 \pm\sqrt{ {441} } }{2} }
2
−5±
441
\boxed{\frac{-5 \pm\sqrt{ {21^{2} } } }{2} }
2
−5±
21
2
\boxed{\frac{-5 \pm 21 }{2} }
2
−5±21
Por lo tanto,
\boxed{x_{1}=8 }
x
1
=8
\boxed{x_{2}=-13 }
x
2
=−13
Para hallar el Ancho y el Largo del jardín rectangular vamos a tomar el valor positivo de la variable x
Por lo tanto,
Ancho del jardín = x metros
x = 8
El jardín tiene 8 metros de ancho
Largo del jardín = (x + 5) metros
Sustituimos el valor de x
(8 + 5) = 13
El jardín tiene 13 metros de largo
Cómo conocemos cuanto mide el área del jardín por enunciado, verificamos,
Área = Largo × Ancho
104 m² = 13 m × 8 m
104 m² = 104 m²
Conociendo ya el ancho y el largo del jardín rectangular, vamos a hallar su perímetro
El perímetro de un rectángulo es igual a la suma de todos sus lados.
O bien, como un rectángulo tiene dos lados iguales paralelos (Ancho) y otros dos lados iguales paralelos (Largo), decimos que,
Perímetro de un Rectángulo = 2. Ancho + 2. Largo
Sustituyendo,
Perímetro = 2. 8 + 2. 13
Perímetro = 16 + 26 = 42 m