Question

La empresa Carbones de oriente debe ingresar a la empresa un requerimiento mínimo diario de carbón de 5000 kg de carbón de alto volátil, 4000 kg de medio volátil y 3000 kg de bajo volátil para su debido proceso y trasformación. La entrada de estos se da de la siguiente manera: De la mina sur en un viaje se reciben 80 kg de alto volátil, 70 kg de medio volátil y 65 kg de bajo volátil, de la mina norte en un viaje se reciben 60kg de alto volátil, 50 kg de medio volátil y 40kg de bajo volátil, de la mina central en un viaje se reciben 40kg de alto volátil, 30kg de medio volátil y 20 de bajo volátil, el costo del trasporte de un viaje de cada mina es de 2500 dólares, 1500 dólares y 900 dólares, respectivamente. ¿Cuántos viajes de cada mina se deben recibir a diario para suplir los requerimientos mínimos y generar el menor costo de transporte? ¿Este ejercicio es maximización o de minimización?

Answer 1

Disponiendo de 50 viajes de la mina Norte y 50 viajes de la mina Central, se suplen los requerimientos mínimos diarios de carbón y se genera el menor costo de transporte, 120000 dólares. Este ejercicio es de minimización.

Explicación paso a paso:  

¿Quienes son las incógnitas?  

Llamaremos:  

x  =  cantidad de viajes realizados desde la mina Sur.

y  =  cantidad de viajes realizados desde la mina Norte.

z  =  cantidad de viajes realizados desde la mina Central.

¿Cuáles son las ecuaciones?  

De la información aportada planteamos el sistema de ecuaciones:  

80x  + 60y  +  40z  =  5000

70x  + 50y  +  30z  =  4000

65x  + 40y  +  20z  =  3000

Resolvemos el sistema de ecuaciones por el método Gauss-Jordan:

1.- Se construye una matriz con los coeficientes del sistema y se amplía con el vector de términos independientes:  

$\left[\begin{array}{cccc}80&60&40&5000\\70&50&30&4000\\65&40&20&3000\end{array}\right]$  

2.- Se realizan operaciones hasta lograr la forma triangular inferior de la matriz identidad. (diagonal principal rellena de unos y el resto rellena de ceros)

Multiplicamos la primera fila por  ¹/₈₀  para obtener uno en la primera posición de la primera fila; es decir, la esquina superior izquierda o inicio de la diagonal principal.

$\left[\begin{array}{cccc}1&\frac{3}{4}&\frac{1}{2}&\frac{125}{2}\\70&50&30&4000\\65&40&20&3000\end{array}\right]$  

Con la primera fila pivoteamos para anular la parte inferior de la columna (por debajo de la diagonal principal), multiplicando la primera fila por -70 y sumando a la segunda fila, multiplicando la primera fila por -65 y sumando a la tercera fila.

$\left[\begin{array}{cccc}1&\frac{3}{4}&\frac{1}{2}&\frac{125}{2}\\0&-\frac{5}{2}&-5&-375\\0&-\frac{35}{4}&-\frac{25}{2}&-\frac{2125}{2}\end{array}\right]$  

Multiplicamos la segunda fila por  -²/₅  para obtener uno en la segunda posición de la segunda fila.

$\left[\begin{array}{cccc}1&\frac{3}{4}&\frac{1}{2}&\frac{125}{2}\\0&1&2&150\\0&-\frac{35}{4}&-\frac{25}{2}&-\frac{2125}{2}\end{array}\right]$  

Con la segunda fila pivoteamos para anular la parte inferior de la columna (por debajo de la diagonal principal), multiplicando la segunda fila por  ³⁵/₄  y sumando a la tercera fila.

$\left[\begin{array}{cccc}1&\frac{3}{4}&\frac{1}{2}&\frac{125}{2}\\0&1&2&150\\0&0&5&250\end{array}\right]$  

Multiplicamos la tercera fila por  ¹/₅  para obtener uno en la tercera posición de la tercera fila.

$\left[\begin{array}{cccc}1&\frac{3}{4}&\frac{1}{2}&\frac{125}{2}\\0&1&2&150\\0&0&1&50\end{array}\right]$  

3.- A partir de esta matriz, se reescribe el sistema de ecuaciones recordando que las columnas corresponden a los coeficientes de las incógnitas en el orden  x,  y,  z.

x  +  (³/4)y  +  (1/₂)z  =  ¹²⁵/₂

0x  +  y  +  2z  =  150

0x  +  0y  +  z  =  50

4.- De aquí:

z  =  50

y  +  (2)(50)  =  150        ⇒        y  =  50

x  +  (³/4)(50)  +  (1/₂)(50)  =  ¹²⁵/₂        ⇒        x  =  0

¿Cuánto viajes se realizan desde cada mina para suplir los requerimientos mínimos de carbón?

Las minas envian:

x  =  0  viajes desde la mina Sur,

y  =  50  viajes desde la mina Norte,

z  =  50  viajes desde la mina Central

¿Cuántos viajes de cada mina se deben recibir a diario para suplir los requerimientos mínimos y generar el menor costo de transporte?

Sabemos que el costo de transporte viene dado por la expresión:

Costo de transporte  =  C  =  2500x  +  1500y  +  900z

La cual se obtiene de multiplicar el costo (en dólares) de cada viaje desde cada mina por el número de viajes necesarios desde cada mina para suplir los requerimientos mínimos de carbón.  

Evaluando esa expresión en los valores de  x,  y,  z  obtenidos, se tiene:

C  =  2500(0)  +  1500(50)  +  900(50)  =  120000 dólares

¿Este ejercicio es maximización o de minimización?

Si lo vemos desde el punto de vista de requerimientos de materia prima (carbón) y/o de costos de transporte, es un ejercicio de minimización.