Question

La ecuación ordinaria de una circunferencia es: (x – 2)2 + (y + 2)2 = 9 Determine su ecuación general.

Answer 1

La ecuación general de la circunferencia dada es:  

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-4 x+4y -1 = 0 }}$

 

Solución

La ecuación ordinaria de la circunferencia está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde (h,k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.

La variable  r  representa el radio del círculo,  h representa la distancia X desde el origen y  k representa la distancia Y desde el origen

Sea

$\large\boxed{ \bold { (x-2)^2+(y+2)^2=9 }}$

Podemos decir que la circunferencia tiene su centro en:

$\boxed{ \bold { (h,k) = (2,-2) }}$

Y que su radio es 3

La ecuación general de la circunferencia se obtiene de la siguiente forma:

Se parte de la ecuación ordinaria de la circunferencia

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}$

Donde para obtener la ecuación general se deben desarrollar los binomios al cuadrado

Resultando en:

$\large\boxed{\bold {x^2-2ax+ a^{2}+y^2 -2by+b^{2} = r^{2} }}$

Reagrupamos los términos del siguiente modo:

$\large\boxed{\bold {x^2+y^2-2ax-2by+ a^{2} +b^{2} - r^{2} = 0 }}$

Considerando:

$\bold {A = -2a }$         $\bold {B = -2b }$        $\bold {C = a^{2}+b^{2} -r^{2} }$      

Por lo tanto podemos reescribir la ecuación general de la circunferencia como:

$\large\boxed{\bold {x^2+y^2+Ax+By+C=0}}$

Convertimos

$\large\boxed{ \bold { (x-2)^2+(y+2)^2=9 }}$

A la ecuación general de la circunferencia

$\boxed{ \bold { x^{2} -4 x +4+ y^{2} +4y + 4 = 9 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} -4 x +4+ y^{2} +4y + 4 -9 = 0 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-4 x+4y +4 + 4 -9 = 0 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-4 x+4y +8 -9 = 0 }}$

$\large\boxed{ \bold { x^{2} + y^{2}-4 x+4y -1 = 0 }}$