Question

La ecuación de una circunferencia es (x-4)^2+(y-3)^2=20. Hallar la ecuación tangente a este círculo en el punto (6,7)

Answer 1

Respuesta:

x + 2y - 20 = 0

Explicación paso a paso:

Lo primero que hay que hacer es derivar la función, pero como son dos variables, es diferenciación implícita, se deriva respecto a x y se hace lo mismo con y pero indicando la derivada

(x - 4)² + (y - 3)² = 20

2(x - 4) + 2(y - 3)y' = 0

2x - 8 + 2yy' - 6y' = 0

Hay que despejar y'

2y' - 6y' = - 2x + 8

y'(2y - 6y) = - 2x + 8

y' = (- 2x + 8)/(2y - 6)

Se puede factorizar un 2 de ambas partes de la fracción, así que todo se reduce a la mitad

y' = (- x + 4)/(y - 3)

Después, se sustituyen x y y con las coordenadas de los puntos

y' = (- 6 + 4)/(7 - 3)

y' = (- 2)/(7 - 3)

y' = (- 2)/(4)

y' = -2/4

y' = -1/2

Esa es la pendiente, pues es la definición de la derivada, así que una vez que se obtiene la pendiente, con ayuda de la ecuación punto-pendiente se obtiene la ecuación de la línea tangente

y - y1 = m(x - x1)

y1 y x1 son las coordenadas y m la pendiente

y - 7 = (-1/2)(x - 6)

y - 7 = -x/2 + 3

Se despeja y

y = -x/2 +3 + 7

y = -x/2 +10

Se multiplica todo por 2

2y = -x + 20

x + 2y - 20 = 0

Y listo, si lo graficas, tanto la circunferencia como la ecuación de la línea tangente, en Geogebra o Mathway o donde gustes, podrás ver que en el punto (6, 7) es tangente a la circunferencia, es decir, toca el borde pero sin pasar por ella, sin cruzarla o cortarla