Question

La ecuación de la recta L que pasa por el punto A (2,- 4) y es paralela a la recta que pasa por los puntos P (-3, 7) y Q (5,- 3) es:
Seleccione una.
a. 4y - 5x + 6 = 0
b. 4y + 5x - 6 = 0
C. 4y - 5x - 6 = 0
O O
d. 4y + 5x + 6 = 0​

Answer 1

La ecuación de la recta L que pasa por el punto A (2,-4) la cual es paralela a la recta que pasa por los puntos P(-3,7) y Q (5,-3) es:

$\large\boxed {\bold { 4 y +5 x+ 6 = 0 }}$

Por tanto la opción correcta es la d

Se solicita hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto A (2, -4) y que es paralela a la recta que pasa por los puntos P (-3, 7) y Q (5, -3)

Solución

Tomamos la recta que pasa por los puntos puntos P (-3, 7) y Q (5, -3) para determinar su pendiente

La pendiente de una recta se representa mediante la letra “m”

La pendiente es igual al cambio en  y  respecto al cambio en  x

$\boxed{\bold {m = \frac{ cambio \ en \ y }{ cambio \ en \ x } }}$

El cambio en  x  es igual a la resta en la coordenada X (también llamada avance), y el cambio en  y  es igual a la resta en la coordenada Y (también llamada elevación).

$\boxed{\bold {m = \frac{ elevacion }{ avance } }}$

La pendiente esta dada por el cociente entre la elevación y el avance

Siendo la pendiente constante en toda su extensión

Si contamos con 2 puntos que conforman la recta, podemos obtener la pendiente de la recta

La pendiente está dada por

$\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

Determinamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos P (-3, 7) y Q (5, -3)

$\boxed{\bold { P \ (-3, 7) \ \ \ Q\ ( 5 , -3)} }$

Hallamos la pendiente

$\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos }$

$\boxed{\bold {m = \frac{ -3 - (7) }{ 5 - (-3) } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ -3-7 }{ 5+3 } }}$

$\boxed{\bold {m = \frac{ -10 }{ 8 } }}$

$\large\boxed{\bold {m = -\frac{ 5 }{ 4 } }}$

La pendiente de la recta que pasa por los puntos P (-3, 7) y Q (5, -3) es -5/4

Determinamos la pendiente de una recta paralela para hallar a ecuación de la recta L que pasa por el punto A (2, -4)

Denotaremos a la pendiente de la recta paralela $\bold { m_{1} }$

Para que las rectas sean paralelas basta con que tengan la misma pendiente.

$\large\boxed{\bold {m_{1} =m }}$

$\large\boxed{\bold {m_{1} = -\frac{5}{4} }}$

Concluyendo que cualquier recta paralela a la dada debe tener la misma pendiente, luego la pendiente de una recta paralela será m = -5/4

Hallamos la recta paralela L que pasa por el punto A (2.-4)

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta solicitada, cuya forma está dada por:

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto A (2,-4) tomaremos x1 = 2 e y1 = -4

Por tanto:

$\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { - \frac{5}{4} } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold { (2,-4) }$

$\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }$

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

$\boxed {\bold { y - (-4) = -\frac{5}{4} \ .\ (x - (2) )}}$

$\boxed {\bold { y +4 = -\frac{5}{4} \ .\ (x -2 )}}$

Resolvemos para y

$\large\textsf{Escribimos en la forma pendiente punto de intercepci\'on }$

$\boxed {\bold { y +4 = -\frac{5}{4} \ .\ (x -2 )}}$

$\boxed {\bold { y +4 = -\frac{5x}{4} +\frac{5}{2} }}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{5x}{4} +\frac{5}{2} -4 }}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{5x}{4} +\frac{5}{2} -4 \ . \ \frac{2}{2} }}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{5x}{4} +\frac{5}{2} - \frac{8}{2} }}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{5x}{4} -\frac{3}{2} }}$

$\large\boxed {\bold { y = -\frac{5}{4}\ x-\frac{3}{2} }}$

Reescribimos la ecuación de la recta hallada en la forma general

$\large\boxed{ \bold { Ax \ + By \ + \ C \ = \ 0}}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{5}{4}\ x-\frac{3}{2} }}$

$\boxed {\bold { 4 y = 4\left(-\frac{5}{4}\ x-\frac{3}{2}\right) }}$

$\boxed {\bold { 4 y = 4\ . -\frac{5}{4}\ x-4 \ . \ \frac{3}{2} }}$

$\boxed {\bold { 4 y = -\frac{20}{4}\ x-\ \frac{12}{2} }}$

$\boxed {\bold { 4 y = -5 x-\ 6 }}$

$\large\boxed {\bold { 4 y +5 x+ 6 = 0 }}$

Habiendo hallado la ecuación de la recta L que pasa por el punto A (2,-4) la cual es paralela a la recta que pasa por los puntos P(-3,7) y Q (5,-3)