la ecuación ax2+2y2+4x+c= 2, represent una circunferencia, ¿para qué valores de a y c?
Respuestas a la pregunta
Los valores correspondientes a a y c son, a = 2, y c < 4
Para poder determinar esto, debemos recordar lo siguiente: La ecuación de la forma
Ax² + Bx + Cy² + Dy = E
Es una circunferencia si y solo si A = C, sabiendo esto, vemos lo siguiente
ax² + 2y² + 4x + c = 2 Es una circunferencia si a = 2, entonces que da lo siguiente
2x² + 2y² + 4x +c = 2
x² + y² + 2x + c/2 = 1
Si se completa cuadrado con x² + 2x, nos da lo siguiente
x² + 2x = (x+1)² - 1 Por lo que
x² + y² + 2x + c/2 = (x+1)² + y² - 1 + c/2 = 1
(x+1)² + y² = 2 - c/2
Además, la parte derecha de la igualdad debe ser mayor o igual a cero pues es igual a un número que es siempre positivo, entonces
2 - c/2 ≥ 0
2 ≥ c/2
4 ≥ c
c ≤ 4
Es decir, todo valor de c que sea menor que 4 (en el caso c = 4, la ecuación es un punto) forma una circunferencia