Question

La duración de cierto tipo de diodo es en promedio de 10.000 horas, con desviación típica de 800 horas.
Para este problema año = 360 días, mes = 30 días, día=24 horas.
E. i) Probabilidad de que el diodo dure menos de 9.000 horas.
ii) Probabilidad de que dure entre 9.800 y 10.200 horas.

Answer 1

La probabilidad es una medida de la posibilidad de que ocurra un evento determinado. Se expresa como un número entre 0 y 1, donde 0 indica que es imposible que ocurra el evento y 1 indica que es seguro que ocurrirá.

i) Probabilidad de que el diodo dure menos de 9.000 horas.

$P(x < 9000) = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{9000 - 10000}{800} = -1.25$

Utilizando la tabla de la normal estándar, se tiene que $P(x < 9000) \approx 0.1056$, es decir, el 10.56% de los diodos durarán menos de 9.000 horas.

$P(x < 9000) = \int_{-\infty}^{9000} f(x) \, dx = \int_{-\infty}^{9000} \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{ - \frac{1}{2} \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)^2 } \, dx$

Por la simetría de la normal, se tiene que

$\int_{-\infty}^{9000} \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{ - \frac{1}{2} \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)^2 } \, dx = \frac{1}{2} \left( 1 - \Phi \left( \frac{9000 - \mu}{\sigma} \right) \right)$

ii) Probabilidad de que dure entre 9.800 y 10.200 horas.

$P(9800 < x < 10200) = \int_{9800}^{10200} f(x) \, dx = \int_{9800}^{10200} \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{ - \frac{1}{2} \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)^2 } \, dx$

Por la simetría de la normal, se tiene que

$\int_{9800}^{10200} \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{ - \frac{1}{2} \left( \frac{x - \mu}{\sigma} \right)^2 } \, dx = \frac{1}{2} \left( \Phi \left( \frac{10200 - \mu}{\sigma} \right) - \Phi \left( \frac{9800 - \mu}{\sigma} \right) \right)$

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