Question

La dueña de un edificio de departamentos puede rentar el total de 50 departamentos si cobra $600 por mes, pero renta un departamento menos por cada incremento de 20 pesos en la renta mensual.
a) Encuentre la renta que debe cobrar para maximizar su ingreso.

Answer 1

Primero hallamos la ecuacion que nos determina el numero de departamentos ocupados dependiendo de la renta

Variable Independiente: Renta

Variable dependiente: Departamentos

X1 = 600; Y1 = 50

X2 = 620; Y2 = 49

[(X - X1)/(X2 - X1)] = [(Y - Y1)/(Y2 - Y1)]

[(X - 600)/(620 - 600)] = [(Y - 50)/(49 - 50)] 

(X - 600)/(20) = (Y - 50)/(-1)

(-1)(X - 600) = 20(Y - 50)

-X + 600 = 20Y - 1000

20Y = -X + 1600 (Divido toda la expresion entre 20)

Y = -X/20 + 80 (Ecuacion que nos determina el numero de departamentos ocupados dependiendo de la Renta)

El ingreso seria el numero de habitaciones ocupadas por la renta que se recibe por cada una:

Y = -X/20 + 80 (Multiplico la expresion por X)

G(X) = -X²/20 + 80X

Aplico el criterio de la primera derivada

G´(X)= 2(-X)/20 + 80

G´(X) = -X/10 + 80 (Hago la expresion igual a 0)

0 = -X/10 + 80

X/10 = 80

X = 800

Ahora aplico el criterio de la segunda derivada para saber si para X = 800, tengo un maximo o un minimo

G´´(X)= -1/10 (Tendria un maximo)

Entonces deberia cobrar $800 para tener el maximo ingreso

G(X) = -(800)²/20 + 80(800)

G(X) = -32000 + 64000

G(X) = 32000

Ahora el numero de departamentos que renta seria:

Y = -X/20 + 80

Y = -800/20 + 80

Y = -40 + 80

Y = 40

Entonces rentando 40 departamento tendria el maximo ingreso