Question

La distancia entre un punto A en el piso y un globo en el punto C es 450m, mientras que la distancia de un punto B en el piso al punto C es 300m. Si el ángulo de elevación desde B al globo de 42°, halla el ángulo de elevación desde A al globo.


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Answer 1

El ángulo de elevación desde A al globo es de 26.49°

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Solución

Denotamos a los ángulos dados por enunciado: A de valor desconocido y B de 42° como α y β respectivamente, y a los lados conocidos AB de 450 metros y BC de 300 metros como b y a respectivamente

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallamos el ángulo de elevación en A (α) hasta el globo

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{b}{sen(\beta) } }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{300 \ metros }{ sen(\alpha ) } = \frac{ 450 \ metros }{sen(42)^o } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha ) = \frac{ 300 \not metros \ . \ sen(42 )^o }{450 \not metros } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha ) = \frac{ 300 \ . \ sen(42 )^o }{450 } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha ) = \frac{ 300 \ . \ 0.6691306063588 }{450 } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha ) = \frac{ 200.73918190765 }{450 } }}$

$\boxed { \bold { sen(\alpha ) = 0.4460870709059 }}$

$\large \textsf{Aplicamos la inversa del seno }$

$\boxed { \bold { \alpha = arcsen (0.4460870709059 ) }}$

$\boxed { \bold { \alpha \approx 26.49291 ^o}}$

$\large\boxed { \bold { \alpha \approx 26.49^o }}$

El ángulo de elevación desde A al globo es de 26.49°

Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones entre los ángulos y los lados planteada