Question

La distancia entre 2 puntos A y B es de 20 km. Los ángulos de elevación de un globo con respecto a dichos puntos son de 58°20' y 67°32'. ¿A qué altura del suelo se encuentran? 58°20′ 20 km 67°32' La distancia entre 2 puntos A y B es de 20 km . Los ángulos de elevación de un globo con respecto a dichos puntos son de 58 ° 20 ' y 67 ° 32 ' . ¿ A qué altura del suelo se encuentran ? 58 ° 20 ′ 20 km 67 ° 32 '​

Answer 1

La altura del suelo a la que se encuentra el globo es de  2,25  kilómetros, aproximadamente.

¿Podemos resolver con razones trigonométricas?

Si, podemos usar la razón trigonométrica tangente para construir un sistema de ecuaciones con los triángulos formados por el globo y las líneas de visual de los puntos  A  y  B.

En la figura anexa se observan dos triángulos rectángulos que se generan con el globo y los puntos  A  y  B.  De igual forma se observa que la altura del suelo a la que se encuentra el globo es el cateto opuesto en los ángulos de elevación.

Vamos a usar las tangentes de los ángulos de elevación desde los puntos  A  y  B  para calcular la altura del globo:

$\bold{Tan(\alpha)~=~\dfrac{Cateto~Opuesto}{Cateto~Adyacente}}$

Ángulo de elevación desde el punto  A:

$\bold{Tan(58^{o}~20')~=~\dfrac{h}{20~-~x}}$

Ángulo de elevación desde el punto  B:

$\bold{Tan(67^{o}~32')~=~\dfrac{h}{x}}$

Construimos un sistema de ecuaciones:

$\bold{Tan(58^{o}~20')~=~\dfrac{h}{20~-~x}}$

$\bold{Tan(67^{o}~32')~=~\dfrac{h}{x}}$

Aplicamos el método de sustitución, despejando  x  de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera

$\bold{x~=~\dfrac{h}{Tan(67^{o}~32')}}$

$\bold{Tan(58^{o}~20')~=~\dfrac{h}{20~-~\dfrac{h}{Tan(67^{o}~32')}}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{Tan(58^{o}~20')~=~\dfrac{h~Tan(67^{o}~32')}{20~Tan(67^{o}~32')~-~h}}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{20~Tan(58^{o}~20')~[Tan(67^{o}~32')~-~h]~=~h~[Tan(67^{o}~32')]\qquad\Rightarrow}$

$\bold{20~Tan(58^{o}~20')~Tan(67^{o}~32')~=~h~Tan(67^{o}~32')~+~h~20~Tan(58^{o}~20')\qquad\Rightarrow}$

$\bold{h~=~\dfrac{20~Tan(58^{o}~20')~Tan(67^{o}~32')}{Tan(67^{o}~32')~+~20~Tan(58^{o}~20')}~=~2,25~~km}$

La altura del suelo a la que se encuentra el globo es de  2,25  kilómetros, aproximadamente.

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