Question

La directriz de la parábola y2=16x es tangente a una circunferencia que tiene como centro el foco de dicha parábola. Encontrar una ecuación para esta circunferencia y determinar los puntos de intersección de las dos curvas.

Answer 1

La forma canónica de esta parábola es y² = 2 p x

El vértice está en (0, 0); p/2 es la distancia entre el vértice y el foco

2 p = 16, p/2 = 4

p es la distancia entre del foco y la recta directriz.

De modo que el radio de la circunferencia es 8

El centro es el foco: C(4, 0)

La circunferencia es (x - 4)² + y² = 8²

Para hallar los puntos de intersección reemplazamos y²

(x - 4)² + 16 x = 64

x² - 8 x + 16 + 16 x = 64

x² + 8 x - 48 = 0; ecuación de segundo grado en x

x = 4, x = - 12 (se descarta por estar fuera de dominio

y² = 16 . 4 = 64; de modo que y = 8; y = - 8

Los puntos de intersección son P(4, 8) y Q(4, - 8)

Se adjunta dibujo a escala

Mateo