La diferencia entre los catetos de un triángulo rectángulo es 7cm, ¿ cual es el perímetro del triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 6cm menos que la suma de los catetos?.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
40 cm
Explicación paso a paso:
sean los catetos a, el mayor y b, el menor.
c es la hipotenusa.
De acuerdo a los datos mencionados en el enunciado, se cumple que:
- b - a = 7 → b = 7 + a ... (I)
- c = (a + b) - 6 ... (II)
- c² = a² + b² → c = √(a² + b²) ... (III)
igualamos (II) y (III), o sea, los valores de c en función de a y b:
(a + b) - 6 = √(a² + b²)
a continuación, reemplazamos b como en (I):
[a + (7 + a)] - 6 = √[a² + (7 + a)²] ... desarrollamos:
2a + 7 - 6 = √[a² + 49 + a² + 14a]
2a + 1 = √[2a² + 14a + 49]
(2a + 1)² = 2a² + 14a + 49
4a² + 1 + 4a = 2a² + 14a + 49 ... reordenamos:
4a² - 2a² + 4a - 14a = 49 - 1
2a² - 10a = 48 ... simplificamos × 2 a cada miembro:
a² - 5a = 24
a² - 5a - 24 = 0
a -8
a 3
(a - 8)(a + 3) = 0
∴ a = 8 (valor positivo)
reemplazamos en valor hallado de a en (I):
b = 7 + a
b = 7 + 8
∴ b = 15
reemplazamos los valores hallados de a y b en (II):
c = (a + b) - 6
c = 8 + 15 - 6
∴ c = 17
FINALMENTE, EL PERÍMETRO SERÁ:
perímetro = a + b + c
= 8 + 15 + 17
= 40 cm