Question

la diferencia entre dos número naturales es 9 y la suma de sus cuadrado es 725 entonces el numero menor es ..

Answer 1

Este problema se resuelve fácilmente mediante un sistema de ecuaciones. En  primer lugar, llamaremos x a uno de los números e y al otro.

El enunciado nos dice que la diferencia entre los números $x$ e $y$ tiene un valor de 9, por lo que podemos escribir la primera de las ecuaciones de nuestro sistema de la siguiente manera: $x-y=9$.

Por otro lado, tenemos que la suma de sus cuadrados tiene un valor de 725, por lo que se tiene: $x^2+y^2=725$,

Ahora tan sólo tenemos que resolver el sistema de ecuaciones resultante:

$\left \{ {{x-y=9} \atop {x^2+y^2=725}} \right.$

Puedes emplear para ello cualquiera de los métodos que conozcas: sustitución, igualación o reducción. Yo lo resolveré por sustitución.

Para ello, despejamos una de las incógnitas en la primera ecuación y sustituimos la expresión que equivale a su valor en la otra ecuación:

-Dado que $x-y=9$, se tiene que $x=9+y$.
-Sustituyendo cada $x$ en la otra ecuación por esa expresión:
$x^2+y^2=725$
$(9+y)^2+y^2=725$

-Ahora tan sólo operamos y "despejamos" la $y$.
$(9+y)^2+y^2=725$
$81+y^2+18y+y^2=725$ (recuerda que $(a + b)^2 = a^2 +b^2 +2ab$)
$2y^2+18y-644=0$ (agrupando términos)
Aplicando la fórmula para la resolución de ecuaciones de segundo grado, obtendrás dos valores para $y$: $y=-23$ e $y=+14$.

Entonces para cada uno de los valores de $y$ obtendremos un valor de $x$ empleando cualquiera de las dos ecuaciones del sistema.

Si $y=-23$:
$x-y=9$
$x+23=9$
$x=-14$

Si $y=14$
$x-y=9$
$x-14=9$
$x=23$

Ya tenemos resuelto el problema y, como ves, posee dos soluciones: o bien $x=-14$ e $y=-23$ (y por lo tanto el valor del menor de los números es -23), o bien $x=23$ e $y=14$ (y por lo tanto el valor del menor de los números es 14).

Espero haberte ayudado, A.