Question

La diferencia del primer término y el cuarto término
de una progresión geométrica es 87.5 y del segundo y el tercero (ambas diferencias en ese orden) es 25. Calcular la razón si todos los términos son positivos.

alguien me ayudaaa :(

Answer 1

La razón de esta progresión geométrica teniendo las relaciones entre términos es 3/5.

¿Cómo hallar la razón de la progresión geométrica?

En toda progresión geométrica, la expresión para el término 'n' en función del primer término y la razón 'r' es:

$a_n=a_0r^n$

Entonces, el primer término es a0 y el cuarto término es $a_0r^3$, y la diferencia entre estos términos es:

$a_0-a_0r^3=87,5\\a_0(1-r^3)=87,5$

A su vez, la diferencia entre el segundo término y el tercer término es la siguiente:

$a_0r-a_0r^2=25\\\\a_0(r-r^2)=25$

Podemos despejar de esta última expresión el término a0 y reemplazarlo en la primera expresión:

$a_0=\frac{25}{r-r^2}\\\\\frac{25}{r-r^2}(1-r^3)=87,5$

Como r=1 es una raíz de $1-r^3$, podemos aplicar Ruffini para factorizar este polinomio:

$~~|-1~~~0~~~0~~~~~~1\\1|~~~~~-1~~~-1~~-1\\-----------\\~~|-1~~-1~~-1~~~~0$

Entonces, el polinomio queda:

$1-r^3=(r-1)(-r^2-r-1)=(1-r)(r^2+r+1)$

Podemos reemplazar esta expresión en la anterior para simplificarla y queda:

$\frac{25}{r-r^2}(1-r^3)=87,5\\\\25\frac{(1-r)(r^2+r+1)}{r(1-r)}=87,5\\\\25(r^2+r+1)=87,5r\\\\25r^2+25r+25=87,5r\\\\25r^2-62,5r+25=0$

Para determinar la razón de la progresión geométrica tenemos que resolver la ecuación cuadrática:

$r=\frac{67,5\ñ\sqrt{(-62,5)^2-4\cdot 25\cdot 25}}{2\cdot 25}=\frac{67,5\ñ37,5}{50}\\\\r=\frac{21}{10}\\\\r=\frac{3}{5}$

Si todos los términos son positivos, y la diferencia entre un término y uno posterior es en ambos casos positiva, la progresión tiene que ser decreciente. Entonces tiene que ser r<1, nos queda $r=\frac{3}{5}$.

Aprende más sobre las progresiones geométricas en https://brainly.lat/tarea/38728380

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