Question

La diferencia de dos números y la diferencia entre su media aritmética (MA) y su media geométrica (MG) están en la misma relación que 9 a 2. Hallar la relación en que se encuentran los números.

Answer 1

Respuesta:

Explicación:

sean a y b los números,  a > b

la diferencia  a - b

MA = (a+b)/2

MG = $\sqrt{ab}$

$\frac{a-b}{\frac{a+b}{2} -\sqrt{ab} } =\frac{9}{2}$

$\frac{a-b}{\frac{a+b-2\sqrt{ab} }{2} } =\frac{9}{2}$

$\frac{2(a-b)}{a+b-2\sqrt{ab} } =\frac{9}{2}$

$\frac{(a-b)}{a+b-2\sqrt{ab} } =\frac{9}{4}$

pero si tenemos $(\sqrt{a} -\sqrt{b} )^{2} = a - 2\sqrt{a}.\sqrt{b}+b = a+b-2\sqrt{ab}$

además de la identidad x² - y² = (x + y)(x - y)

se puede escribir a - b  como

a =($\sqrt{a}$)²  ;   b = ($\sqrt{b}$)²

luego

a - b = $(\sqrt{a} )^{2} - (\sqrt{b} )^{2} =(\sqrt{a} +\sqrt{b} )(\sqrt{a} -\sqrt{b} )$

reemplaza

$\frac{(\sqrt{a} +\sqrt{b} )(\sqrt{a} -\sqrt{b} )}{(\sqrt{a} - \sqrt{b} )^{2}} =\frac{9}{4}$

simplifica

$\frac{\sqrt{a} +\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b} } =\frac{9}{4}$

propiedad de la proporciones

$\frac{x}{y} = \frac{z}{w} =k =constante$

$\frac{x+y}{x-y} = \frac{z+w}{z-w} =k$

aplica

$\frac{(\sqrt{a} +\sqrt{b})+(\sqrt{a} -\sqrt{b}) }{ (\sqrt{a} +\sqrt{b}) - (\sqrt{a} -\sqrt{b}) } =\frac{9+4}{9-4}$

$\frac{2\sqrt{a}}{ 2\sqrt{b} } =\frac{13}{5}$

$\frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b} } =\frac{13}{5}$

al cuadrado

$\frac{a}{ b} =\frac{169}{25}$