Question

La diferencia de cuadrados de dos números es 3375 y su MCD es 15. ¿Cuántos pares de números cumplen tales condiciones?

Answer 1

Respuesta:

Los pares (120 , 105) y (60 , 15)

Explicación paso a paso:

Sean esos números a y b.

$a^2-b^2=3375\\\Rightarrow\, (a+b)(a-b)=3375$

Si el MCD es 15, significa que ambos números se pueden dividir por 15, de modo que podemos ponerlos como:

$a=15m\\b=15n$

Siendo m y n números naturales.

$\Rightarrow\,(15m+15n)(15m-15n)=3375\\\Rightarrow\,15(m+n)\cdot15(m-n)=3375\\\Rightarrow\,225(m+n)(m-n)=3375\\\Rightarrow\,(m+n)(m-n)=15$

m y n son números naturales; por tanto la suma siempre va a ser mayor que la diferencia, con lo que para que el producto sea 15 solo se pueden dar los siguientes factores y en ese orden respectivamente: 15 x 1 , 5 x 3.

$15\times1$

$\left \{ {{m+n=15} \atop {m-n=1}} \right.$

$\Rightarrow\,2m=16\\\Rightarrow\,m=8\\\Rightarrow\,n=7$

$\Richtarrow\,\left \{ {{a=15\cdot 8=120} \atop {b=15\cdot 7=105}} \right.$

$5\times 3$

$\left \{ {{m+n=5} \atop {m-n=3}} \right.$

$\Rightarrow\,2m=8\\\Rightarrow\,m=4\\\Rightarrow\,n=1$

$\Richtarrow\,\left \{ {{a=15\cdot 4=60} \atop {b=15\cdot 1=15}} \right.$

Hemos considerado el hecho de que 15 es un divisor común; no está de más comprobar que en cada caso es, además, el máximo. Efectivamente lo es.